Práxis Educativa

Quais teorias e métodos para a pesquisa sobre o ensino da matemática?

A matemática provoca dificuldades de compreensão que não são encontradas em outras disciplinas. A escolha de uma teoria e de um método para recolher e analisar os trabalhos dos alunos depende do ponto de vista do qual nós nos baseamos para estudá-los. Neste artigo, examinaremos e faremos uma comparação dos aportes específicos dos pontos de vista matemático, cognitivo e pedagógico para analisar os processos de compreensão e de aquisição de conhecimentos em matemática. Com este objetivo abordaremos quatro questões: a) os critérios de compreensão são os mesmos segundo estes três pontos de vista?; b) o sucesso matemático em um problema implica a compreensão de um ponto de vista cognitivo?; c) como distinguir tipos de erros para analisar as causas de incompreensão?; d) as progressões construídas a partir de análises em termos de pré-requisitos favorecem ou ignoram o desenvolvimento cognitivo específico que permite compreender em matemática? Nós mostraremos que a importância particular do ponto de vista cognitivo vem do fato de que a atividade matemática tem sempre duas faces.

Mathematics presents some difficulties of comprehension which are not found in other subjects. The choice of theories and methods to collect and analyze students work depends on the perspective taken to study them. This paper examines and compares the mathematical, cognitive and pedagogical perspectives to analyze the process of comprehension and acquisition of mathematical knowledge. With this aim, four issues are approached: a) are the comprehension criteria the same under the three perspectives?; b) does mathematical success with a problem mean comprehension of a cognitive viewpoint?; c) how can types of error be distinguished in order to analyze the causes of lack of comprehension?; d) do progressions built on pre-requisite analyses favor or ignore the specific cognitive development which leads to the comprehension of mathematics? The paper shows that the particular importance of the cognitive perspective stems from the fact that the mathematical activity has always two sides.

Les mathématiques soulèvent des diffi cultés de compréhension quon ne retrouve pas dans les autres les autres disciplines. Les choix dune théorie et dune method pour recueillir et analyser les productions des élèves dépendent du point de vue auquel on se place pour les étudier. Dans cet article nous examinerons et comparerons lapport spécifi que des points de vue mathématique, cognitif et pédagogique pour analyser les processus de compréhension et dacquisition de connaissances en mathématiques. Dans ce but nous aborderons quatre questions: a) les critères de compréhension sontils les mêmes selon ces trois points de vue?; b) la réussite mathématique à un problem implique-t-elle la compréhension dun point de vue cognitif ?; c) comment distinguer des types derreurs pour analyser les causes dincompréhension?; d) les progressions construites à partir danalyses en termes de «prérequis» favorisent-elles ou ignorent-elles le développement cognitif spécifi que qui permet de comprendre en mathématiques? Nous montrerons que limportance particulière du point de vue cognitif vient du fait que lactivité mathématique a toujours deux faces.

Inferencia de indicadores de idoneidad didáctica a partir de orientaciones curriculares

La evaluación de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas requiere disponer de instrumentos adecuados que orienten de manera fundamentada dicha evaluación. En este trabajo describimos uma metodología para la mejora progresiva de instrumentos de evaluación de la idoneidade de procesos de instrucción matemática mediante el análisis de contenido de propuestas curriculares. Las unidades de análisis son clasificadas según las facetas y componentes propuestos en la Teoría de la Idoneidad Didáctica para identificar normas e indicadores de idoneidad, los cuales son confrontados con el sistema propuesto por dicha teoría, afin de identificar concordancias y complementariedades. Esta metodología es ejemplificada mediante su aplicación a los Principios y Estándares 2000 del NCTM en el área de contenido de estadística de los niveles K-8.

Assessment of didactic suitability of mathematics teaching and learning processes requires suitable instruments to guide and support it. This paper presents a methodology for progressive improvement of such instruments to evaluate the suitability of mathematical instruction processes based on the analysis of curricular orientations. Analysis units are classified according to the facets and components proposed by the Didactic Suitability Theory to identify norms and suitability indicators, which are compared with the system proposed by this theory, in order to point out agreements and complementarities. This methodology is exemplified through its application to the principles and standards of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) in the statistics content area at the level K-8.

A avaliação da idoneidade didática de processos de ensino e aprendizagem das matemáticas requer dispor de instrumentos adequados que orientem tal avaliação de maneira fundamentada. Nesse artigo, descrevemos una metodologia para a melhoria progressiva de instrumentos de avaliação da idoneidade de processos de instrução matemática mediante a análise do conteúdo de propostas curriculares. As unidades de análise são classificadas segundo as facetas e componentes propostos na Teoria da Idoneidade Didática para identificar normas e indicadores de idoneidade, os quais são confrontados com o sistema proposto por essa teoria, a fim de identificar concordâncias e complementariedades. Essa metodologia é exemplificada mediante sua aplicação aos os princípios e padrões do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) na área do conteúdo de estatística dos níveis K-8.

O raciocínio matemático nos alunos do ensino básico e do ensino superior

Este artigo analisa os processos de raciocínio em tarefas matemáticas de dois alunos do 9º Ensino Básico e dois alunos do 2º ano do Ensino Superior. Debruçamo-nos, também, sobre a representação e a significação, dada a sua estreita relação com o raciocínio matemático. Os resultados apresentados têm por base dois estudos de natureza qualitativa e interpretativa que usam diversas fontes de dados. Estes resultados mostram que o domínio da linguagem algébrica por parte dos alunos do 9º é ainda insuficiente para resolverem de forma expedita os problemas propostos, o que já não ocorre com os alunos do Ensino Superior. As estratégias iniciais de todos os alunos são de natureza indutiva. No entanto, uma das alunas do 9º ano e os dois alunos do Ensino Superior mostram uma capacidade já bem visível para raciocinar dedutivamente. Os níveis de significação variam consideravelmente, tendo diversos alunos mostrando capacidade de construir ou mobilizar significados relevantes. O modelo de análise que apresentamos, articulando raciocínio, representações e significação, revelou-se um instrumento promissor para estudar os processos de raciocínio dos alunos.

This paper analyzes the reasoning processes in mathematical tasks of two students in the 9th year of elementary school and two students in the second year of college. It also focuses the representation and meaningfulness, given their close relation with the mathematical reasoning. Results presented are based on two qualitative and interpretive studies which resort to several data sources. These results show that mastering of the algebraic language by the students in the 9th year is still insufficient to promptly solve the problems proposed, which does not occur with the college students though. All students use inductive initial strategies. However, one of the students in the 9th year and both college students revealed clearly their capability to reason deductively. The signification levels vary considerably, and several students have shown skills to build or mobilize relevant meanings. The model of analysis presented, articulating reasoning, representations and meaningfulness proved itself a promising tool to study the students reasoning processes.

O ensino de matemática hermético: um olhar crítico a partir dos registros de representação semiótica

Neste trabalho discutimos, à luz da teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval, o significado do ensino de matemática hermético, fechado sobre si mesmo, em relação ao modo como os registros semióticos são utilizados. Constata-se que este ensino, criticado por pesquisadores da Educação Matemática, se baseia em registros que provêm, geralmente, de um único sistema semiótico e, mesmo quando trata de mais de um sistema, não considera as possibilidades de articulação semiótica que pressupõe o reconhecimento simultâneo dos elementos semióticos que podem estar relacionados em cada sistema considerado. Veremos, ainda, como esta situação pode ser superada com um ensino que priorize, de fato, a articulação entre registros tendo por base a ideia de aprendizagem em matemática de Duval.

This paper proposes a discussion, under the conception of the semiotic representation registers by Raymond Duval, about the meaning of hermetic teaching of mathematics, closed in itself, in relation to the way the semiotic registers are used. This teaching method, criticized by mathematical education researchers, is seen as based on registers that usually come from a single semiotic system, and even when more than one system are employed, these do not consider the possibilities of semiotic articulation which assumes the simultaneous recognition of semiotic elements that might be related in each system under analysis. Another discussion proposed is how this situation can be overcome with a teaching practice which really prioritizes the articulation between registers based on Duvals idea of mathematics learning.

Análise de percepções e procedimentos algébricos de estudantes da educação básica

Essa pesquisa objetiva verificar como estudantes da Educação Básica se percebem em relação à matemática e, ao mesmo tempo, analisar os procedimentos utilizados para resolver questões algébricas. Os sujeitos, estudantes de 8ª série do Ensino Fundamental, 1º e 3º anos do Ensino Médio, de duas escolas públicas de Passo Fundo/RS, responderam a um instrumento contendo questões relacionadas à sua própria percepção das aulas da disciplina, à matemática e a conteúdos algébricos. A análise foi baseada principalmente em autores das áreas da Educação Matemática e da psicologia histórico-cultural. Verificamos que, mesmo entre os estudantes que afirmaram sentirem-se alegres ou felizes com a ideia de terem uma aula de matemática, muitos apresentaram dificuldades de aprendizagem de conteúdos algébricos, reveladas pelos procedimentos utilizados. Concluímos que é necessário elaborar propostas com sequências didáticas, fundamentadas matemática e pedagogicamente, que efetivamente potencializem a apropriação de significados dos conceitos abordados e a sua aplicação em diferentes situações.

This study aims to verify how students in elementary school see themselves in relation to mathematics and, at the same time, analyze the procedures used to solve algebraic tasks. These students in the 8th year of elementary school, and first and third years of high school, from two State schools in Passo Fundo/RS, answered a questionnaire about their own perceptions of the mathematics lessons, the subject mathematics and algebraic content. The analysis was based mainly on authors from the mathematical education and the historic-cultural psychology areas. It was verified that even among students who claimed to be happy with the idea of having mathematics classes several presented learning difficulties regarding algebraic contents, revealed by the procedures employed. It was concluded that it is necessary to design proposals with didactic sequences, mathematically and pedagogically based, which can efficiently optimize the appropriation of meaning from the concepts approached and their application in different situations.

Dispositivo estratégico, resistência e relações de poder: um ensaio sobre a identidade do Centro de Educação Matemática (CEM) e seu papel na (E) educação (M)matemática brasileira

Este artigo apresenta alguns resultados da investigação realizada sobre o Centro de Educação Matemática (CEM), um grupo de educadores matemáticos da cidade de São Paulo atuante principalmente entre os anos de 1984 e 1997. No ensaio, marcado por um exercício de constituir a identidade do CEM a partir de uma leitura foucaultiana, assume-se que o processo de constituição de identidades não se refere ao que o CEM é ou foi, mas a um conjunto de possibilidades de apreendê-lo a partir de estratégias e iniciativas historicamente contextualizadas. Nessa leitura foucaultiana, que traz à cena conceitos como dispositivo estratégico, resistências e relações de poder, o CEM é visto como constituindo-se ao criar condições para a constituição da moderna Educação Matemática brasileira.

This paper presents some results of the investigation on the Mathematical Education Centre (CEM), a group of mathematics teachers educators in São Paulo, Brazil, acting mainly between 1984 and 1997. The essay, marked by an effort to constitute the identity of the CEM based on Foucault, assumes that the identity constitution process is not about what CEM is or was, but mainly about a set of possibilities of apprehending it from its historically contextualized strategies and initiatives. In this Foucauldian reading, which brings about concepts such as strategic device, resistance and power relations, the CEM constitution appears while it creates conditions for the constitution of Brazilian modern mathematical education.

O ensino da matemática nas escolas do campo por meio da metodologia da mediação dialética

Este artigo aborda a necessidade de um trabalho pedagógico dentro da modalidade Educação do Campo, especificamente no ensino da matemática. Busca justificar a defesa por um trabalho diferenciado, que tome como ponto de partida o conhecimento matemático do aluno e permita a sua ampliação de tal forma que os conhecimentos matemáticos adquiridos sejam realmente úteis em sua vivência de cidadão. A partir das Diretrizes Curriculares da Educação do Campo, este trabalho apresenta os pontos principais do desenvolvimento da Metodologia da Mediação Dialética, a qual possibilita estabelecer relações entre os diferentes saberes do aluno e do professor, de forma que o aluno possa superar seu conhecimento imediato sobre o mundo, pelos conhecimentos matemáticos historicamente construídos pelo homem

This paper approaches the need for pedagogical work within the scope of Rural Education, mainly Mathematics teaching. It seeks to justify the defense of a differentiated work, which takes as its starting point, the students mathematical knowledge and allows its broadening in such a way that the mathematical knowledge acquired is really useful in their everyday life. Taking the Rural Education Curricular Guidelines into account, this study presents the main points for the development of a dialectic mediation methodology, which establishes relations between the different knowledge of teachers and students, so that the students can overcome their immediate knowledge of the world, through mathematical knowledge historically built by humankind.

Sobre os objetivos, objetos e problemas da pesquisa brasileira em modelagem matemática na educação matemática

Consideramos que toda área de pesquisa que busca se consolidar e amadurecer deve voltar-se para a própria pesquisa. Desse modo, entendemos que este trabalho é relevante para a Modelagem Matemática na Educação Matemática, pois temos a seguinte questão de pesquisa: como se mostram os objetivos, os objetos e problemas de pesquisa nas comunicações científicas publicadas na IV Conferência Nacional de Modelagem Matemática, CNMEM, realizada em 2005? Essa questão é enfrentada sob uma abordagem qualitativa do tipo meta-analítica e de conteúdo, com auxílio do software Atlas T.i. O material de coleta de dados é oriundo da referida conferência que é a primeira das três que analisaremos no estudo que visa explicitar a pesquisa em Modelagem Matemática no Brasil. As categorias estabelecidas neste artigo e que serão interpretadas são: 1) Metaestudo em Modelagem Matemática; 2) Aplicação de Modelagem; 3) Articulação entre Modelagem e outras teorias; 4) Modelagem e formação de professores.

This paper presents an analysis of scientific communications published in the IV Mathematical Modeling National Conference (CNMEM in the Brazilian abbreviation), which took place in 2005. The analysis consists of a meta-analytical and content qualitative approach, aided by the software Atlas T.i. The data collected was originated in the above mentioned conference which is the first of the three which will be analyzed in the study that aims to unveil the research on Mathematical Modeling in Brazil. The categories established in this paper and which will be interpreted are: a) Meta-study on Mathematics Modeling; b) Modeling application; c) Articulation between Modeling and other theories, and d) Modeling and teachers education.

Conhecimentos mobilizados por professoras dos anos iniciais na elaboração de histórias infantis com conteúdos matemáticos

Este artigo tem como objetivo identificar e analisar os conhecimentos mobilizados por professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, ao elaborarem histórias infantis com conteúdos matemáticos. A pesquisa desenvolvida aproxima-se da vertente de pesquisa participante, e o local de investigação foi um curso de curta duração oferecido, pelos autores deste texto, em um seminário de Educação Matemática para professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Os instrumentos usados para a produção dos dados foram o áudio, o vídeo, o diário de campo e os registros produzidos pelas professoras. Os resultados evidenciaram que as professoras mobilizaram seus conhecimentos do conteúdo e seu conhecimento pedagógico do conteúdo, ao buscarem solucionar os diferentes problemas propostos e, principalmente, ao elaborarem histórias infantis com conteúdo matemático.

This paper aims to identify and analyze the knowledge mobilized by teachers in the early years of elementary school to create childrens stories with mathematical content. The research developed leans towards the participant research, and the locus was a short-duration course offered by the authors in a seminar of mathematical education for teachers in the early years of elementary school. The data collection tools were audio and video recordings, field diary and registers produced by the teachers. Results revealed that the teachers mobilized their knowledge of the content and their pedagogical knowledge in order to solve the different problems proposed and, mainly, to create childrens stories with mathematical content.

A vivência de uma intervenção docente: reflexões sobre o ensino e a aprendizagem de matemática

Este artigo reflete sobre uma vivência de intervenção docente, na forma de Estágio de Docência no Ensino Superior, no Curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade do interior do Rio Grande do Sul, Brasil. A intervenção ocorreu em uma disciplina de Prática de Ensino, que teve como centralidade a discussão dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental. Esta produção é marcada por momentos, que, embora, separados, se complementam, se articulam. Foram feitas análises das observações de aula da professora titular e das atividades usadas pelo professor estagiário e, por fim, análises de registros dos licenciandos, advindos da reflexão das atividades realizadas na intervenção. As contribuições provenientes deste artigo são, principalmente, as articulações imprimidas pelos licenciandos entre os campos, blocos de conteúdos e conceitos de matemática do Ensino Fundamental. As articulações construídas revelam possibilidades de tratamento dos conceitos matemáticos na licenciatura e projetam os licenciandos como professores de matemática da Educação Básica.

This paper proposes a reflection on the experience of a teaching intervention, in the format of higher education teaching training, in the Mathematics course of a university in Rio Grande do Sul, Brazil. The intervention was carried out in the teaching practice subject, which focused on the discussion of Brazilian National Curricular Parameters for Basic Education. This production is marked by moments, which, although separate are complementary and interrelated. The lessons given by the professional teacher were observed and analyzed as well as the activities employed by the teacher in pre-service training and these were followed by analysis of the undergraduate students registers, resulting from the reflections upon the activities carried out during the intervention. Contributions originated in this paper are mainly the links found by the undergraduate students among the fields, blocks of content and concepts of Mathematics in elementary school. The interrelations built reveal possibilities for the treatment of mathematical concepts in teacher education and project the trainees as elementary school mathematics teachers.

Uma análise de reflexões e de conhecimentos construídos e mobilizados por um grupo de professores no ensino de números decimais para o sexto ano do ensino fundamental

Este artigo tem por finalidade apresentar um recorte da dissertação de mestrado, desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS. Traz uma análise dos conhecimentos construídos e mobilizados por um grupo de professores durante a realização de seis encontros acerca do ensino de números decimais. Para análise dos dados foi utilizado o modelo teórico desenvolvido por Lee Shulman sobre a base de conhecimentos para o ensino, focando as três vertentes: o conhecimento específico, pedagógico e curricular do conteúdo. A formação do grupo possibilitou momentos de estudo, escolha, aplicação e reflexão. Os resultados revelam que as trocas de experiência e o planejamento elaborado coletivamente propiciaram, além da conscientização sobre a necessidade da base de conhecimentos, a importância de discutir e planejar em grupo. Apontaram ainda que os encontros contribuíram para que os sujeitos expusessem as suas dúvidas, refletindo sobre a sua prática.

This paper presents an analysis of the knowledge built and mobilized by a group of teachers throughout six meetings about decimal numbers teaching. The theoretical model developed by Lee Shulman about the knowledge basis for teaching was used for the data analysis, with focus on three aspects: the specific, pedagogical and curricular knowledge of content. The group work enabled moments of study, choices, application, and reflection. Results revealed that sharing experience and planning together made the group aware of the need of a knowledge basis, as well as the importance of discussing and planning as a group. They also pointed out that the meetings provided the participants with opportunities of sharing doubts and reflecting upon their practice.

Ambiente virtual de aprendizagem e educação presencial: uma integração possível na formação de professores

Este artigo apresenta resultado de pesquisa sobre processos de interação e mobilização identificadas em alunos de um curso presencial de Licenciatura em Matemática usando recursos de ambientes virtuais de aprendizagem. O recorte neste artigo se dá sobre a mobilização de conhecimentos curriculares numa perspectiva de prática pedagógica em interações estabelecidas com o uso do chat e do diário. A análise teve por base Thompson (2004), Primo (2008), Silva (2010), Scherer (2005), Charlot (2000), entre outros. Os resultados mostram que houve mobilização de conhecimentos através de interações mútuas e a existência de um movimento reflexivo de aprendizagem que implicou construção conceitual, que a integração das ferramentas disponíveis em ambientes virtuais no ensino presencial potencializam a comunicação e a interação entre professor e aluno e entre os alunos, estendendo os processos de aprendizagem para além do espaço e do tempo das aulas, dando a ideia de uma sala de aula expandida.

This paper presents the result of a study on processes of interaction and mobilization identified in students in a Mathematics Degree attendance course using resources from the virtual learning environment. The focus of this study is on the mobilization of curricular knowledge under a perspective of pedagogical practice in interaction established with the use of chat and diary. The analysis was based on Thompson (2004), Primo (2008), Silva (2010), Scherer (2005), Charlot (2000), among others. Results reveal that there was mobilization of knowledge through mutual interactions and the existence of a learning reflective movement which implied conceptual construction, that the integration of tools available in virtual environments to the attendance environment optimized communication and the interaction between teacher students and among students, broadening the learning processes beyond the space and time of lessons, creating the effect of an expanded classroom.

A cognição em questão: invenção, aprendizagem e educação matemática

Este artigo propõe uma interlocução entre a noção de invenção e a Educação Matemática, em particular, a sala de aula de matemática. A discussão tem como mote um episódio de pesquisa de campo, realizada a partir do método cartográfico em uma escola da rede pública de Juiz de Fora/MG. Em torno deste episódio são articulados dois discursos acerca da cognição e da aprendizagem: o da Teoria dos Campos Conceituais, de Gérard Vergnaud, e o do Modelo dos Campos Semânticos, de Rômulo Lins. A invenção opera transversalmente nos dois discursos, abrindo possibilidades de pensar a aprendizagem como coprodução si-mundo.

This paper proposes a dialogue between the notion of invention and mathematical instruction, mainly, the mathematics classroom. The discussion is based upon an episode of field research, carried out in the Cartography method in a public school in Juiz de Fora/MG. Around this episode, two discourses are articulated about cognition and learning: the Conceptual Field Theory, by Gérard Vergnaud, and the Semantic Field Model, by Rômulo Lins. The invention crosses both discourses transversally, creating possibilities of thinking learning as a co-production of self-world.

Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas