Análise da fronteira estocástica

Partindo da necessidade de se estimar a eficiência, começou-se a realizar estudos para mensurar a fronteira. Segundo ^{Kumbhakar e Lovell (2000}) e ^{Varian (1999}), para analisar as fronteiras de produção e de custo é necessário considerar os componentes de eficiência técnica e alocativa.

^{Marinho e Ataliba (2000}) concluíram que o objetivo principal da fronteira é estimar uma função de produção, cuja finalidade é obter o máximo de eficiência do seu produto. Contudo, a existência de ineficiência técnica (gerando um resultado abaixo da fronteira máxima de produção) não garante o resultado eficiente. Assim, surgiu o modelo de produção estocástica.

^{Pereira e Moreira (2007}) afirmam que a metodologia da Fronteira de Produção Estocástica é caracterizada por adicionar um termo de erro à função. O objetivo é medir a ineficiência técnica e a ineficiência dos efeitos aleatórios (^{KUMBHAKAR; LOVELL, 2000}).

A mensuração de eficiência pode ser feita a partir de dados de cortes transversal ou em painel. Segundo ^{Kumbhakar e Lovell (2000}), sua especificação pode ser a mesma, mas com estimações distintas, podendo representar uma distribuição normal, normal truncada (^{STEVENSON, 1980}; ^{BATTESE; COELLI, 1988}, 1992; ^{WANG, 2002}), gama (^{GREENE, 1990}) e exponencial (^{MEEUSEN; VAN DEN BROECK, 1977}; ^{AIGNER; LOVELL; SCHMIDT, 1977}). Os autores afirmam que a diferença na escala da distribuição dos impactos é pequena nas medidas de eficiência. Por isso, apesar de as distribuições normal e normal truncada receberem algumas críticas, são utilizadas por possuírem modelos mais simples, tornando-as as mais comuns distribuições na literatura técnica.

A partir do modelo proposto por ^{Battese e Coelli (1988}, 1992, 1995), foi possível gerar o modelo de fronteira estocástica para captar os efeitos da ineficiência, tentando captá-los pelo modelo invariante (presume-se que o termo de ineficiência tenha uma distribuição normal truncada) no tempo e variante (presume-se que o termo de ineficiência tenha uma variável aleatória normal truncada multiplicada por uma função específica variante do tempo) no tempo. Ainda que seja possível a estimação por mínimos quadrados ordinários (MQO) e mínimos quadrados generalizados (MQG), os estimadores utilizados no modelo foram ajustados e obtidos pelo estimador de Máxima Verossimilhança. Com isso, o modelo é apresentado como:

em que o modelo exponencial pode ser definido da seguinte forma: Y_it é produto do i-ésimo estado (output); β são os vetores (kx1) de insumos a serem estimados; i é o indivíduo, cada um dos estados do Brasil; t é a variação no tempo; Vit∼N(0,σv2) é o componente do erro aleatório; uit∼N+(μ,σ2) é o termo de erro aleatório não observável em relação ao termo de ineficiência técnica. O termo de erro é composto pela captação dos aspectos relacionados à ineficiência técnica e aos resíduos estatísticos.

De acordo com ^{Battese e Coelli (1995}), a fronteira estocástica pode ser especificada da mesma forma representada em (2). Contudo, o termo de ineficiência é definido como variável aleatória, expressado da seguinte forma:

em que W_it representa uma variável aleatória com média zero e variância constante; Z_it representa um vetor (p x 1) de variáveis que afetam a ineficiência; δ representa um vetor (1 x p) de estimação dos parâmetros.

A eficiência técnica (ET) foi definida nos estudos de ^{Battese e Coelli (1992}, 1995) da seguinte forma:

em que a eficiência técnica (ou o termo de ineficiência) é mensurada pela razão entre a produção observada e a estimada (da mesma forma que na fronteira determinística).

Como foi explicitado na equação (2), o termo de erro é composto por dois componentes. O primeiro é representado pelos desvios relacionados ao componente de choque aleatório v_it, que é independentemente distribuído sobre as observações da amostra, enquanto u_it é representado pelos desvios em relação aos componentes de eficiência. Seguem as hipóteses de validade:

Além dos modelos de estimação, a modelagem de eficiência considera duas formas funcionais. Uma representada pela função Cobb-Douglas, e a outra, no modelo da função Translog, como descrito a seguir.

Cobb-Douglas:

Translog:

A melhor forma escolhida é encontrada pelo teste da razão de Máxima Verossimilhança (likelihood-ratio test). A estatística do teste (LR) é dada por:

em que H₀ representa o LL Cobb-Douglas, e H₁ representa o LL Translog. Deve-se rejeitar H₀ se LR > TKP (^{KODDE; PALM, 1986}).

Análise geral

Apesar do aumento dos gastos nos períodos recentes (ver Quadro 1 e Gráfico 3), os dados do Inep e da Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE) mostram que, ainda que se tenha notado progresso, o Brasil apresenta resultados muito abaixo de países que se destacam. Desde os anos 2000, o Brasil participa da prova do Programa Internacional de Avaliação de Alunos (Pisa) (no original, Programme for International Student Assessment), aplicado e avaliado pela OCDE. O teste busca analisar o conhecimento dos alunos de 15 anos de idade.

De acordo com tais resultados (ver Figura 1), em 2015, o Brasil estava no nível de países com baixo índice de desenvolvimento e se manteve entre as piores posições, visto que os resultados para o país foram negativos em todas as modalidades - matemática, ciências e leitura. Cabe destacar que países vizinhos, como Argentina e Uruguai, alcançaram melhor desempenho comparados ao Brasil.

No geral, os melhores resultados do Pisa estão no Canadá, China e países europeus. Vale destacar também que a maioria dos países que não participa do programa está situada no continente africano. Fica evidente também que os países apresentam notas menores na prova de matemática, seguida de ciências. As provas de matemática tiveram tanto as menores notas como os piores resultados entre as maiores notas.

Fonte: Elaboração própria a partir dos dados do Pisa (2015)¹ do software QGIS.

FIGURA 1 Notas do Pisa - 2015 

Conforme ^{Mincer (1974}), ganhos de produtividade fazem com que a educação forneça retornos positivos para o mercado de trabalho. Portanto, um aumento do gasto público de um país com educação tende a ter como consequência indireta um aumento na produtividade da sociedade no futuro. Assim, é de se esperar que investimentos na educação básica gerem maior empregabilidade no futuro.

De acordo com ^{Heiniger e Imdorf (2018}), fatores relacionados à oferta educacional tendem a gerar melhores desempenhos educacionais e, como consequência, geram impacto positivo no mercado de trabalho. Ainda de acordo com os autores, países que investem mais em fatores educacionais relacionados à transmissão para o mercado de trabalho tendem a ser mais exitosos no número de indivíduos no mercado de trabalho.

Apesar de não especificar precisamente quais investimentos são realizados nessa transição, de acordo com o Gráfico 1, a relação entre gasto público no ensino fundamental - em % do Produto Interno Bruto (PIB) - e o número de empregados que possuem ensino fundamental é crescente. Com base nessa linha de tendência da OCDE, percebemos que o Brasil apresenta alto nível de indivíduos empregados que concluíram o ensino fundamental. Porém, o preço pago para atingir esse nível foi muito superior à tendência (média) observada. Ainda vale salientar que o Brasil possui baixa escolaridade média da população, que os indicadores educacionais, quando comparados com o restante da América Latina, só superam os de países mais pobres, e que ainda há diferenças significativas na educação entre estados e regiões do país (^{SILVA; HASENBALG, 2000}).

Fonte: Elaboração própria com dados da OCDE (2017).²

GRÁFICO 1 Relação entre gasto público no ensino fundamental como porcentagem do PIB (2013) e porcentagem do número de empregados com ensino fundamental (2015) 

Em relação ao gasto por aluno, o Brasil apresenta valores inferiores ao de outros países e à média da OCDE (ver Gráfico 2). Quando se compara países próximos ao Brasil, como Chile e Colômbia, os níveis de gasto são semelhantes na educação básica, mas com diferenças nos resultados do Pisa (ver Figura 1). Discrepante ao restante dos níveis escolares, os resultados do Gráfico 2 mostram que, no Brasil, o gasto com ensino superior é maior que o com o restante dos níveis.

Para os casos dos Estados Unidos e do Reino Unido, o gasto com ensino superior é muito elevado por conta do elevado número de estrangeiros que iniciam sua formação nesses países, mas, para os países em desenvolvimento, percebe-se que não existe esse tipo de demanda. Mesmo assim, os gastos no ensino superior continuam em patamares elevados em relação ao restante dos níveis educacionais.

Fonte: Elaboração própria com dados da OCDE (2017).³

Nota: Dólar americano equivalente convertido utilizando Paridade do Poder de Compra (PPC) para o PIB, por nível de educação, com base em equivalentes de tempo integral.

GRÁFICO 2 Despesas anuais por aluno de instituições públicas de educação, segundo o país e o nível de ensino em 2013 

De acordo com os resultados do Inep, entre 1980 e 2015, houve grande crescimento no número de matrículas de ensino fundamental nos primeiros dez anos, seguido de uma leve queda e crescimento leve nos anos subsequentes, de forma que, em 2015, tenha atingido 96,5% da taxa de cobertura de matrícula.

Já o ensino médio apresentou baixas proporções no início dos anos 1980 (cerca de 14,3%), e foi crescendo consideravelmente ao longo dos anos (chegando a 56,9% em 2015). Dessa forma, os resultados mostram efeitos positivos das políticas de conscientização pública para a educação da população de manter os alunos na escola na idade padrão estabelecida pela rede de ensino.

O Gráfico 3 apresenta os resultados do custo por aluno do ensino fundamental e médio apenas para o Brasil. Fica evidente que, por volta de 1984 a 1988, houve um aumento de todas as redes de ensino. Nos anos seguintes, o custo por aluno para o ensino fundamental e médio manteve-se pouco variável até 2002, quando cresceu exponencialmente. Uma explicação lógica de tal comportamento consiste no grande investimento educacional durante o governo Lula em educação, em razão do boom das commodities brasileiras no exterior.

Apesar do crescimento dos gastos por aluno no ensino fundamental e médio (Gráfico 3), os dados do Inep mostram que o ensino superior se mantém com a maior proporção de gastos educacionais do governo (Gráfico 2), consumindo cerca de três vezes mais que o ensino básico. ^{Heckman (2008}) reforça o que já foi encontrado na literatura, afirmando que os anos básicos são os que proporcionam maior rentabilidade.

Fonte: Elaboração própria com base em dados de ^{Maduro Júnior (2007}) de 1980 até 1999 e do Inep (BRASIL, 2018) de 2000 até 2015.

GRÁFICO 3 Custo por aluno no Brasil, por nível de ensino (1980-2015) 

Análise estadual

As tabelas a seguir apresentam os resultados de âmbito estadual no período de 2007 a 2017, bem como uma breve análise. A Tabela 1 mostra que a média do número de alunos por turma diminuiu no período estudado na maioria dos estados, enquanto apenas o Mato Grosso do Sul (para os anos finais) e Minas Gerais (para os anos finais e ensino médio) apresentaram crescimento.

Uma redução no número de matrículas por turma pode ter efeitos negativos do ponto de vista de eficiência, uma vez que recursos como sala de aula e professor são destinados para menos pessoas, em média. Porém, do ponto de vista de resultados escolares, menos alunos por turma pode gerar um resultado positivo - pois professores teriam menor dificuldade, em turmas menores, de compartilhar conhecimento (^{DYNARSKI; HYMAN; SCHANZENBACH, 2013}).

^{Souza, Oliveira e Annegues (2018}) investigaram a relação entre as características das famílias e o desempenho escolar dos alunos de 5º e 9º ano do ensino fundamental das escolas públicas e privadas. Utilizando um modelo não paramétrico, o generalized additive model (GAM), um estimador em dois estágios, e partindo dos dados do Saeb de 2011 e do Censo Escolar, os autores encontraram evidências de que variáveis ligadas ao background familiar exercem grande influência no desempenho escolar dos alunos em comparação com as variáveis ligadas à escola, aos docentes e aos diretores, sobretudo para os alunos de escola pública.

O Gráfico 4 mostra que, no período de 2007 a 2017, houve uma queda geral na distorção idade-série nos anos finais do ensino fundamental, com destaque para o Mato Grosso, que reduziu mais de 70% da distorção. Dentre os estados com aumento na proporção de alunos distorcidos, Ceará e Rio Grande do Norte tiveram uma variação menor que 1%; o crescimento no Amapá e Espírito Santo foi de 6,25% e 8,82%, respectivamente. Os estados que se destacam com acréscimo na distorção idade-série foram Rio Grande do Sul (12,94%) e Santa Catarina (18,69%).

Para o ensino médio, a maior parte dos estados apresentou decréscimo na distorção idade-série, com exceção de Santa Catarina, que registrou aumento de 27,05%. Cinco unidades federativas reduziram em pelo menos 40% a distorção no ensino médio entre 2007 e 2017: Alagoas, Ceará, Goiás, Pernambuco e Piauí, com destaque para Pernambuco, com uma queda de 55,82%.

Fonte: Elaboração própria, por meio dos dados do Inep (BRASIL, 2018).

GRÁFICO 4 Taxa de crescimento da taxa de distorção idade-série, por nível de ensino (2007-2017) 

Quando retratamos a situação do percentual de professores com ensino superior (Tabela 2), tanto nos anos finais da educação fundamental como no ensino médio, percebe-se que, entre 2007 e 2017, houve grande crescimento (com exceção de Ceará, Goiás, Santa Catarina e São Paulo), sendo a Bahia o estado que apresentou o maior crescimento na qualificação dos docentes para o ensino médio.

De forma geral, pode-se observar que o número de professores mais qualificados aumentou ao longo do tempo. Esse crescimento pode ser explicado pelo fato de que os governos em geral estão investindo mais em educação por meio da contratação de professores mais qualificados.

Esse resultado indica que, nesse aspecto, o país está no caminho certo; porém, é preciso reconhecer que ainda há uma grande concentração de alunos por professor em comparação a outros países, situação que se agrava quando considerada a inadequada estrutura da maioria das escolas públicas e que gera impactos negativos sobre o aprendizado e, consequentemente, sobre o resultado educacional.

Para ^{Bertê, Borges e Brunet (2008}), os gastos públicos com educação serão eficientes apenas se seu aumento estiver acompanhado de mais critério e qualidade, visto que melhorias na educação geram investimentos a longo prazo. Além disso, os gastos devem proporcionar eficiência e equidade nos sistemas de ensino, focados no desempenho e no desenvolvimento dos alunos.

Segundo ^{Heckman (2008}), os gastos públicos com educação nada mais são que grandes investimentos que o Estado realiza para o desenvolvimento intelectual da sociedade. Quanto mais cedo se começa a investir na educação (principalmente entre as crianças oriundas de família de baixa renda), maior será o benefício. ^{Guryan (2001}) comprovou em seu estudo que os aumentos dos gastos públicos por aluno resultaram em uma significativa melhoria dos resultados educacionais.

Com relação aos estados brasileiros, de acordo com o Quadro 1, quando se compara o gasto público em educação ao longo do período de estudo (de 2007 a 2017), percebe-se que alguns estados aumentaram o gasto real em educação no período de dez anos, enquanto outros diminuíram - como é o caso do Rio de Janeiro. Salienta-se que, no período analisado, houve uma redução nas matrículas na rede estadual de ensino de todas as UFs do Brasil, com exceção do Acre, que aumentou em 11,7% (^{DAVIES; ALCÂNTARA, 2020}).

^{Sousa et al. (2018}) realizaram seu estudo voltado para os 56 municípios do sertão pernambucano, encontrando que cidades que apresentaram menos gastos médios com alunos conseguiram obter êxito nas metas do Ideb. ^{Ferreira et al. (2018}) procuraram analisar como os gestores apontam o Ideb nas escolas públicas da cidade de Salgueiro, em Pernambuco, encontrando divergência por meio dos resultados do indicador e de entrevista com os gestores, e que estes veem o índice como insuficiente para representar e subsidiar as práticas das instituições, mas que é um importante instrumento de monitoramento e avaliação da rede de ensino.

A Figura 2 revela que em 2007 pelo menos seis estados nordestinos apresentaram Ideb inferior ou igual a 3,0, enquanto dois estados do Sul e um estado do Sudeste apresentavam Ideb de pelo menos 4,0 - superando inclusive a média nacional do ensino fundamental de 3,5. Já em 2017, houve um grande aumento do Ideb em todos os estados brasileiros, com destaque para as regiões Norte e Nordeste. Na Região Sudeste, apenas o Rio de Janeiro apresentou pequeno crescimento no Ideb. Apesar do resultado positivo, observa-se que, para os anos finais do ensino fundamental, os resultados ainda precisam melhorar, já que o estado com melhor resultado obteve pontuação de 5,2, mostrando que as UFs estão longe da meta número 7⁴ definida pelo Plano Nacional de Educação (PNE).

Fonte: Elaboração própria com base nos dados do Inep (BRASIL, 2018).

FIGURA 2 Mapas do Ideb (anos finais do ensino fundamental) - 2007 e 2017 

Em relação ao ensino médio, a Figura 3 mostra um aumento significativo no indicador Ideb para o ensino médio; todavia nenhum estado conseguiu atingir o valor 5 em 2017. Estados das regiões Norte e Nordeste, entre eles Ceará e Pernambuco, apresentaram crescimento, e a Bahia apresentou queda. Assim como acontece nos anos finais do ensino fundamental, o estado de Goiás apresentou o maior Ideb para o ensino médio: 4,3. Os demais estados com nota 4 são Espírito Santo (4,1) e Pernambuco (4,0).

Fonte: Elaboração própria com base nos dados do Inep (BRASIL, 2018).

FIGURA 3 Mapas do Ideb (ensino médio) - 2007 e 2017 

^{Card e Krueger (1996}), Deon ^{Filmer e Lant Pritchett (1999}) apontam que a infraestrutura do sistema educacional é um requisito importante para o desenvolvimento do sistema e que investimentos em equipamentos geram retornos significativos para a educação. Além disso, ^{Libâneo (2008}) afirma que a infraestrutura deve ser adequada, de forma que assegure o desenvolvimento do sistema educacional. De mesmo pensamento, ^{Marzocchi e Oliveira (2009}) indicam que equipamentos e recursos educacionais melhores podem gerar, em média, resultados de desempenho 6,9% maiores para os alunos participantes do Pisa.

O Gráfico 5 mostra os resultados obtidos a partir do indicador de estrutura criado como objeto de pesquisa para a infraestrutura das escolas, determinado para 2007, 2013 e 2017 para os estados brasileiros. Os resultados mostram sentido diferente do que foi encontrado até o presente momento no quesito desempenho. Destacam-se os estados de São Paulo, seguido de Minas Gerais, Paraná e Rio Grande do Sul, entre os estados com melhores desempenhos em estrutura escolar dentre os comparados.

Fonte: Elaboração própria, por meio dos dados do Inep (BRASIL, 2018).

GRÁFICO 5 Indicador de estrutura (PSE) para os estados brasileiros 

O modelo

A partir dos dados do Censo Escolar do Inep, é possível analisar algumas informações educacionais básicas do Brasil. A variável dependente é o Ideb. Como variáveis explicativas, também oriundas do Inep, tem-se: a média do número de alunos por turma, a distorção idade-série, taxa de reprovação, de abandono, total de matrículas, a meta do Ideb estipulada e a estrutura escolar - esta é formada pela média entre as variáveis ponderadas do número de computadores para alunos, número de salas e o número de escolas com quadra e biblioteca. A ponderação é criada com base em ^{Afonso, Schuknecht e Tanzi (2005}), que pondera as variáveis pela média geral de cada ano.

Uma variável de gasto foi inserida com informações da Secretaria do Tesouro Nacional (BRASIL, 2017) e do Inep (BRASIL, 2018). Com base em dados coligidos pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2017) foram inseridas variáveis de renda per capita, população, taxa de homicídio e expectativa de vida. A região de pertencimento da UF também foi adicionada como controle por meio de variáveis binárias (dummies).

A estratégia empírica parte de um modelo linear para a fronteira estocástica. Com o objetivo de mensurar a eficiência dos estados brasileiros mediante seus desempenhos na nota do Ideb, o modelo pode ser descrito da seguinte forma:

em que Ideb é produto (output); β representa os vetores (kx1) das variáveis de interesse a serem estimados; e α representa os vetores (kx1) das variáveis socioeconômicas, ambos para os estados i no tempo t; vit∼N(0,σv2) representa o componente do erro aleatório; e uit∼N+(μ,σ2) representa o termo de erro aleatório não observável em relação ao termo de ineficiência técnica.

De acordo com a Tabela 3, em média, os estados mostram alguns resultados negativos, como, por exemplo, o de que o Ideb está distante de atingir a meta número 7 definida pelo PNE (^{SOARES; XAVIER, 2013}). Em média, pode-se observar também que o resultado do Ideb está atrás da meta esperada para o período de estudo - a qual foi definida a partir do Ideb escolar de 2005, e inclui também a meta de convergência das notas em 9,9 para 2096 e o esforço necessário para se alcançar tal meta (^{FERNANDES, 2007}) -, e precisa ser considerado com outros fatores contextuais (^{MATOS; RODRIGUES, 2016}). Comparando as redes de ensino, percebe-se que a taxa de alunos reprovados é maior no ensino fundamental, enquanto o ensino médio tem maior taxa de abandono, maior taxa de distorção idade-série e maior média do número de alunos por turma. Por outro lado, o ensino médio possui maior número de professores com ensino superior, enquanto o Ideb dos anos finais do ensino fundamental é maior.

Dentre as variáveis que afetam os resultados educacionais, o gasto público aparece como uma variável importante para detectar possíveis ganhos do desempenho, já que boas medidas administrativas e a adoção de políticas eficientes resultam em melhoria do sistema público do país (^{HANUSHEK, 1995}; ^{AFONSO; SCHUKNECHT; TANZI, 2010}). Na Figura 4, é possível observar a relação entre o gasto defasado dos estados em três anos e as notas do Ideb para os anos finais e o ensino médio em 2017, indicando que os anos finais do ensino fundamental apresentam tendência positiva, enquanto o ensino médio apresenta uma tendência pouco inclinada, mas negativa. Esse resultado, contudo, precisa de maiores evidências empíricas, uma vez que outras variáveis também podem estar afetando os desempenhos educacionais, e a inclusão delas é necessária para uma análise mais robusta.

Fonte: Elaboração própria por meio dos dados da pesquisa.

FIGURA 4 Relação do gasto público defasado e a nota do Ideb (2017) 

Resultados econométricos

Neste trabalho, foram realizadas estimações para as 27 UFs nos anos de 2007, 2009, 2011, 2013, 2015 e 2017. Em virtude da composição dos dados, os autores preferiram adotar um modelo de estimação de dados em painel, e assim verificar o impacto das variáveis explicativas sobre o Ideb (variável dependente).

Na Tabela 4, tem-se o resultado do teste de razão de verossimilhança. Tanto para o ensino médio quanto para o fundamental não é possível rejeitar a hipótese nula; logo, o modelo mais adequado é o de Cobb-Douglas.

A Tabela 5 apresenta os resultados da aplicação dos modelos para o ensino fundamental e ensino médio. Cabe salientar que, para o ensino fundamental, não tem o modelo variante no tempo, pois não converge no software. Pelos resultados obtidos, é possível afirmar que o modelo de ineficiência é adequado, haja vista o valor de gama (que mede a participação do componente da ineficiência) ser bastante expressivo. A ausência de ineficiência também pode ser rejeitada, uma vez que, em todos os modelos, o valor log verossimilhança é maior do que o valor tabelado. Os modelos também são válidos, uma vez que o teste de Wald indica a significância geral dos parâmetros estimados em 1%.

Para o ensino fundamental, é possível perceber que os gastos defasados aumentam a eficiência das UFs brasileiras, a reprovação e o abandono geram gastos que acabam não dando retorno. De acordo com ^{Bissoli (2010}), um aluno que abandona a escola antes de concluir uma série ou determinado nível resulta em oneração dos recursos destinados ao investimento educacional, reduzindo sua eficiência. ^{Macgregor (2007}) afirma que as principais causas da evasão são a falta de qualidade das escolas, motivos de dificuldade financeira dos alunos e a baixa escolaridade e renda de suas respectivas famílias.

Os resultados da Tabela 5 mostram que, quanto maior for o número de alunos por turma, menor será a eficiência do gasto. Ainda que possa ser estratégia de governo turmas maiores, com o intuito de reduzir o gasto em educação, tal política mostra-se ineficiente, de acordo com os resultados aqui apresentados. A variável tamanho de turma, porém, é controversa, uma vez que parte da literatura aponta que turmas menores são importantes para melhorar a proficiência do escolar (^{JEPSEN; RIVKIN, 2009}), mas também mostra que tal efeito é nulo ou até negativo sobre as notas dos alunos (^{HOXBY, 2000}; ^{LEUVEN; LØKKEN, 2018}; ^{SOUZA; OLIVEIRA; ANNEGUES, 2018}).

Para o ensino médio, também de acordo com a Tabela 5, conforme supracitado sobre o valor de gama, o modelo mais adequado é o modelo variante no tempo, por isso a análise será focada na coluna do modelo variante. Novamente, o número de alunos por turma afeta negativamente a eficiência, assim como a distorção idade-série e o abandono escolar. A estrutura escolar mostra que as UFs que investem muito em estrutura têm menor eficiência, assim como as UFs com maior renda per capita - tal resultado também é encontrado por ^{Frio et al. (2018}), que mostra que escolas com maior infraestrutura possuem, em média, menos eficiência; porém, o nível socioeconômico não afeta a eficiência. Por outro lado, as UFs com maior expectativa de vida possuem maior eficiência, e a eficiência do gasto também é aumentada de acordo com a nota de matemática e com a porcentagem de docentes com ensino superior.

^{Jacob et al. (2018}) mostram que a seleção de professores tem papel relevante nas notas dos alunos. No processo de seleção, a maior formação dos professores afeta positivamente as notas; ou seja, a educação do professor é um bom preditor de sua qualidade. O resultado que encontramos tem o mesmo sentido, mostrando que ter mais professores com ensino superior aumenta a eficiência do gasto em educação no ensino médio. ^{Cowan e Goldhaber (2016}) mostram que o programa de certificação de professores no estado de Washington, nos Estados Unidos, é eficiente no aumento das notas dos alunos, tanto em leitura como em matemática.

Ainda que nos resultados aqui apresentados não haja efeito no tamanho da população, resultado que corrobora os achados de ^{Gonçalves e França (2013}) para os municípios do Brasil, segundo ^{Scarpin et al. (2012}), as cidades catarinenses mais populosas são, em média, menos eficientes, resultado que também é encontrado por ^{Macêdo et al. (2012}) para os municípios paranaenses.

A taxa de homicídios não apresenta efeito sobre a eficiência, ainda que se encontrem na literatura trabalhos que mostrem o efeito da violência sobre os resultados escolares. De acordo com o trabalho de ^{Monteiro e Rocha (2017}) para o Rio de Janeiro, alunos que foram expostos a tiroteios ou guerras entre facções obtêm pior desempenho em matemática na Prova Brasil.

A Figura 5 mostra que existem dois cenários bastante distintos na eficiência: enquanto os estados possuem uma eficiência relativa considerada alta nos anos finais do ensino fundamental (o valor mínimo é de 0,889, em uma escala que varia de 0 a 1), no ensino médio o termo de ineficiência do modelo invariante no tempo é bastante elevado, em que a maior eficiência registrada é de 0,865.

Fonte: Elaboração própria.

FIGURA 5 Mapas da fronteira de eficiência (anos finais do ensino fundamental e ensino médio) - invariante no tempo 

A Tabela 6 apresenta a eficiência técnica estimada pela aplicação do modelo de fronteira de produção estocástica, estimado na equação variante no tempo para o ensino médio da tabela anterior. A Tabela 6 apresenta os valores da eficiência de cada estado (2007 e 2017) e seu posicionamento no ranking de 2017, nela é possível perceber que os estados se mantiveram no ranking de eficiência da provisão de educação para o ensino médio, mas que houve uma queda expressiva das eficiências relativas ao longo do tempo.

Com base na Tabela 6, ainda é possível analisar por região do Brasil. Enquanto no Nordeste estão os dois estados mais eficientes, Piauí e Sergipe, também estão os estados que mais desperdiçam, o Rio Grande do Norte e a Bahia, mostrando uma disparidade regional bem acentuada. No Norte, o destaque positivo é o Acre, que ocupa a quarta colocação, porém o Amazonas ocupa a 21ª posição. No Centro--Oeste, Goiás está em terceiro, e Mato Grosso do Sul, em sétimo, mas destaca-se negativamente a vigésima colocação, ocupada por Mato Grosso. A disparidade regional do Sudeste se dá por São Paulo e Rio de Janeiro: enquanto aquele ocupa a 25ª posição, este é o 5º colocado. Por fim, no Sul estão o Rio Grande do Sul e Santa Catarina como estados de eficiência média - 11º e 16º, respectivamente -, enquanto o Paraná ocupa a 23ª colocação.

Ou seja, o cenário educacional brasileiro sofreu modificações nos anos analisados, porém ainda apresenta notórias disparidades nas regiões e estados. Essas mudanças representam apenas o início da grande evolução desejada pelos formuladores de políticas e pela sociedade e de que a educação brasileira tanto precisa.