Traduções de Nicole Picard no acervo do Laboratório de Matemática do IE

O Laboratório de Matemática do Instituto de Educação foi constituído, em 1951, como um espaço para reunião de materiais didáticos produzidos pelas alunas da disciplina de Didática da Matemática do curso de Administração Escolar. Ao final da década, foi criado no seu âmbito um Círculo de Estudos, para discussão de textos e organização de cursos para professores (^{Instituto..., 1961}).

As atividades foram intensificadas nos anos 1960 e se renovaram nas décadas de 1970 e 1980. O Laboratório foi desativado em algum momento, anos antes ou depois do ano 2000. A sala que abrigava o Laboratório passou a ser usada, também, como depósito de livros didáticos. Os documentos, livros e materiais didáticos, reunidos ao longo de 50 anos, ficaram guardados em caixas ou fichários de papelão. Em 2014, foram encontrados, cobertos de pó, por uma equipe de estudantes que participava do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID). O interesse pelos materiais didáticos motivou a equipe a reorganizar a sala, e o Laboratório foi revitalizado (^{Dalcin, 2016}). Em 2016, quando o prédio do Instituto foi fechado para restauro, todos os materiais foram levados para uma sala do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul¹. Em 2017, teve início o projeto de constituição do acervo do Laboratório, com a higienização, inventário, acondicionamento e digitalização dos documentos².

Durante o processo de inventário, foi possível perceber que os documentos, produzidos em diferentes épocas, haviam sido reagrupados e reordenados, nos anos 1980 e 1990, pois foram rubricados nesse período. Mas também é provável que tenham sido removidos ou rearranjados depois, sem um critério evidente: exemplares de um mesmo documento foram encontrados em caixas diferentes, alguns com folhas extraviadas. Em uma classificação inicial dos tipos de documentos, percebeu-se que havia muitas traduções; ao final do processo de higienização e inventário, foram listados 309 conjuntos de traduções manuscritas, datilografadas ou mimeografadas.

As atividades de traduções de textos sobre ensino de matemática, didática ou psicologia são também mencionadas nos relatórios da equipe do Laboratório, indicando que se tratavam de práticas regulares, planejadas e valorizadas. Muitos das traduções apresentam textos de autores vinculados ao movimento da matemática moderna, como Caleb Gattegno, Frédérique Papy e os já mencionados Lucienne Félix e Zoltán Dienes. Dezessete textos são traduções de extratos de obras de Nicole Picard³.

O Quadro 1 apresenta as traduções de Nicole Picard encontradas no acervo, identificando: o título atribuído a cada tradução, o número de tombo ou de registro do item no inventário, o título da obra a partir da qual foi extraído o trecho traduzido, a professora responsável pela tradução, o ano em que a tradução foi realizada, segundo os relatórios do Laboratório encontrados, a natureza do extrato, a modalidade do registro gráfico – manuscrito ou datilografado, eventualmente reprografado⁴, e o número de folhas ou páginas do item. Até o momento, não foi possível estabelecer o exemplar a partir do qual foi feita cada tradução.

Fonte: Elaborado pelos autores a partir da coleção digital Práticas e saberes matemáticos nas Escolas Normais do Rio Grande do Sul.

Quadro 1 Traduções de textos de Nicole Picard encontradas no Laboratório de Matemática do IE 

Pelo Quadro 1, vê-se que foram traduzidos trechos de dois artigos de Nicole Picard, publicados na revista pedagógica Le Courrier de la Recherche Pédagogique, uma publicação do Instituto Pedagógico Nacional (IPN) francês. Os extratos dizem respeito aos temas da numeração e das “máquinas”, que correspondem à ideia matemática de operador, como comentaremos mais adiante.

As demais traduções correspondem a livros didáticos⁵ ou guias para o professor sobre o uso das fichas. A maioria são extratos do guia Commentaires pour le maître, de orientação a professores para uso do Journal de Mathématique I. C. E. 2, um conjunto de fichas de atividades para alunos do Cours élémentaire 2, ou C. E. 2 - o terceiro ano do ensino elementar na França, que reúne alunos com 8 a 9 anos de idade. No Journal, as fichas estão agrupadas por temas: Organização do Espaço, Esquemas, Máquinas e Numeração, nessa ordem. O estudo das operações numéricas é preparado pelo estudo dos temas precedentes e, em particular, pelo estudo das máquinas: “graças ao trabalho com as cadeias de máquinas numéricas, as crianças serão levadas a desenvolver a aptidão ao cálculo mental” (^{Picard, 1971}, p. 37). As traduções dos extratos do guia Commentaires pour le maître, portanto, apresentam aos professores orientações para o trabalho com cada grupo de fichas.

Para compreender a recepção dos livros e a mobilização para a tradução dos textos, vamos tratar de eventos que os precederam, no Laboratório de Matemática do IE e na experimentação dirigida por Nicole Picard, na França.

Movimentações para a modernização do ensino de matemática em Porto Alegre

As movimentações que precederam a recepção dos livros de Nicole Picard, no Instituto de Educação, podem ser compreendidas a partir da conjugação de duas tendências: a construção de um ambiente de discussão sobre o ensino de matemática e, em particular, sobre a Didática da Matemática, desde o início dos anos 1950, no Laboratório de Matemática do IE; a emergência de um movimento de inovação curricular em âmbito internacional, mobilizando matemáticos, professores e agências governamentais, com fortes ressonâncias no Brasil.

Na constituição desse ambiente, tem sido destacado o protagonismo de Odila Barros Xavier, professora de Didática da Matemática que tomou a iniciativa da criação do Laboratório e foi sua principal impulsionadora por muitos anos (^{Dalcin; Bonfada; Rheinheimer, 2018}). Em um texto retrospectivo, Odila Xavier menciona a leitura, desde os anos 1940, da obra de Piaget. A publicação da coletânea L’enseignement des mathématique, por Jean Piaget, Caleb Gattegno e matemáticos que participavam da Commission Internationale pour l’Étude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques (CIEAEM), em 1955, logo recebeu a atenção de Odila e das professoras que frequentavam o Laboratório. Em particular, o capítulo Les structures mathématiques et les structures opératoires de l’intelligence, de ^{Piaget (1955)}, conforme a professora Odila, abriu “novas perspectivas de interrogações e de buscas” (^{Xavier, 1963}, p. 6). A partir do capítulo de Gattegno, La pédagogie des mathématiques, iniciou-se um estudo do material didático criado por George Cuisenaire.

Essas leituras teriam sido decisivas para a construção de um novo olhar para o ensino de matemática e motivaram um esforço de “atualização e aprimoramento, em matemática, dos professores primários” (^{Xavier, 1963}, p. 8). Para essa atualização, foi decisiva a colaboração com Joana de Oliveira Bender, “[...] a primeira professora de matemática que valorizou, em Porto Alegre, nossos ingentes, penosos e quase dramáticos esforços de melhorar o ensino de matemática na escola primária” (^{Xavier, 1963}, p. 9). Joana Bender, licenciada em Matemática e professora do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), atuara por muitos anos no ensino primário – como professora, diretora de grupo escolar e colaboradora do Centro de Pesquisas e Orientação Educacionais (CPOE). Desde 1953, a convite das professoras do IE, ministrou cursos sobre Teoria dos Conjuntos. O II Congresso Nacional de Ensino de Matemática, realizado em Porto Alegre, em 1957, também se constituiu em importante espaço de diálogo entre professores primários e secundários (^{Xavier, 1963}; ^{Búrigo, no prelo}).

Em 1961, o Laboratório de Matemática do IE já contava com uma pequena biblioteca que reunia livros de Matemática, como Conjuntos e funções de Leopoldo Nachbin e A Álgebra Moderna, de M. Queysanne e A. Delachet, e variadas obras do campo da Didática da Matemática, incluindo livros de autores ligados ao movimento modernizador, como Caleb Gattegno e Lucienne Félix, duas lideranças da CIEAEM. Nesse ano mesmo de 1961, o professor Antonio Ribeiro da UFRGS, a convite do Círculo de Estudos, ministrou mais um curso de Teoria dos Conjuntos para um público amplo de professoras, estudantes e técnicas do CPOE (^{Instituto..., 1961}).

Essas movimentações no Instituto de Educação precederam a criação do Grupo de Estudos em Ensino de Matemática (GEEM), em São Paulo – considerada um marco para a deflagração do movimento da matemática moderna no Brasil. Uma grande onda renovadora seria impulsionada a partir de 1962, quando o GEEM apresentou uma nova proposta de programa para o ensino de matemática na escola secundária, no IV Congresso Brasileiro de Ensino de Matemática, em Belém do Pará. As proposições do GEEM foram recebidas pelas professoras do IE, nas palavras da própria Odila, “com emoção”; em particular, ela menciona o texto de Omar Catunda, preocupado em comunicar em uma linguagem simples as ideias de conjunto e estrutura, “conceitos esses básicos também para o trabalho da professora primária na direção da aprendizagem em matemática” (^{Xavier, 1963}, p. 14).

Acompanhando as movimentações que se davam em âmbito nacional, com uma profusão de palestras, cursos de formação de professores, e divulgação de notícias na mídia, as professoras do IE, no início dos anos 1960, prosseguiram sua empreitada de estudos sobre a matemática moderna. Em 1965, um novo curso de Matemática foi ministrado pela professora Joana Bender, em 1965, com 144 participantes, sobretudo professoras formadoras e professoras da escola primária anexa ao IE (^{Instituto..., 1965}).

Todas essas iniciativas indicam um grande interesse em acompanhar o movimento modernizador, de diversos modos: estudando novos materiais didáticos; conhecendo livros em circulação; estudando uma “matemática moderna”, com novas noções e usos de linguagem, que não apenas era diferente da matemática então ministrada no Curso Normal do IE, mas também se distinguia da matemática preconizada pelos programas de ensino primário em vigor e, especialmente, da matemática aprendida pelas professoras ao longo de sua vida escolar e universitária.

Um novo personagem juntou-se ao grupo de professoras do IE em 1966. Esther Pillar Grossi fora contratada em 1965 como professora de matemática em uma turma de classe experimental do ginásio no Colégio Estadual Pio XII, em Porto Alegre. Em depoimento oral, ela relata que teve contato com as ideias da matemática moderna por meio de um curso de Lógica, ministrado em 1964 por Osvaldo Sangiorgi, presidente do GEEM, e pelos livros de Papy e Dienes, que já circulavam em Porto Alegre. E que fora incentivada a ensinar a matemática moderna por Lucienne Félix, durante sua visita a Porto Alegre em agosto de 1965. Em janeiro de 1966, Esther apresentou um relato de sua experiência no V Congresso Brasileiro de Ensino de Matemática, em São José dos Campos; então teve contato com professoras do IE, que a convidaram para trabalhar naquela instituição (^{Grossi, 1988}; ^2007a).

No mesmo ano de 1966, iniciou-se a oferta de um curso de especialização em Didática da Matemática Moderna para a Escola Primária, com duração de um ano e meio, destinado a professores primários e da pré-escola do próprio Instituto. As professoras de Didática da Matemática no IE, conforme requeria a legislação, eram diplomadas em Pedagogia. A Esther Grossi, licenciada em Matemática, foi confiada a disciplina de Fundamentação Matemática, com 93 encontros semanais (^{Instituto..., 1967a}).

Os primeiros livros de Nicole Picard chegaram ao Laboratório em 1967, quando o curso avançava para o seu segundo ano: Des ensembles à la découverte du nombre; À la conquête du nombre, e Blocs logiques, destinados a alunos e professores da educação infantil e do primeiro ano do ensino elementar. De acordo com o Relatório de Atividades de 1967, foram adquiridos naquele ano um total de 56 livros para o Laboratório de Matemática, sendo 24 livros da autoria de Nicole Picard (^{Instituto..., 1967b}).

Ainda em 1967, foram iniciadas em algumas escolas particulares de Porto Alegre classes experimentais no primeiro ano primário, orientadas pelo curso de especialização e inspiradas nos livros de Nicole Picard; em 1968, foi iniciada experiência na escola primária do próprio Instituto de Educação (^{GEEMPA, 1975}; ^{Instituto..., 1970}).

Livros didáticos elaborados a partir da experimentação em salas de aula

Os livros de Nicole Picard encontrados no Laboratório de Matemática distinguem-se de outros materiais pelo seu formato e intenção. Os livros dirigidos aos alunos consistem em coleções de fichas, numeradas conforme a ordem aconselhada para o seu uso. Essas fichas trazem atividades a serem realizadas pelas crianças, colorindo objetos, completando esquemas gráficos, escrevendo números; os livros para professores apresentam a fundamentação para as atividades propostas, a lógica envolvida na sequência delineada e orientações pormenorizadas para a realização de cada atividade. O uso das fichas não é o típico de um livro, pois elas podem ser rearranjadas, ou visualizadas ao mesmo tempo, o que não se pode fazer com as páginas de um livro. A Figura 1 mostra um dos livros encontrados no acervo.

Cada livro é destinado prioritariamente a uma série do ensino elementar; mas a autora adverte sobre a importância de “seguir o ritmo próprio de cada criança e, em particular, de suprimir as reprovações que apenas em circunstâncias excepcionais são proveitosas”, de modo que algumas crianças poderiam não concluir uma sequência de estudos e atividades em determinada série, continuando “no ano seguinte, sem entretanto serem maus alunos” (^{Picard, 1971}, p. 9).

Fonte: Acervo do Laboratório de Matemática do Instituto de Educação General Flores da Cunha.

Figura 1 Imagens da coleção de fichas Journal de Mathématique I C. E. 2 et exercices 

Para compreender o formato e a intenção dos livros, é importante considerar o contexto de sua produção: Nicole Picard, licenciada em Matemática, coordenou uma experimentação sistemática de renovação do ensino de matemática na escola primária, empreendida pelo Departamento de Pesquisa Pedagógica do IPN, a partir do ano letivo de 1964-1965, até 1970. Também participou da Comission d’étude pour l’enseignement des mathématiques (CEEM), instituída em 1966 pelo Ministério da Educação para planejar uma reforma do ensino (^{Picard, 1973}).

As propostas de mudança no ensino primário, na França, eram fortemente inspiradas nos debates sobre a modernização do ensino de matemática, nas universidades e escolas secundárias. Desde os anos 1940, no pós-guerra, o grupo de matemáticos de pseudônimo Bourbaki propunha uma reorganização dos cursos universitários em torno das estruturas matemáticas, valorizando o estudo de objetos e propriedades mais gerais, assentado em uma axiomática rigorosa. Professores secundários e universitários, reunidos em diferentes fóruns, defendiam que esse enfoque fosse adotado, com adaptações, para o ensino secundário, como uma alternativa a um ensino fragmentado e baseado na reprodução de técnicas mal compreendidas. A abordagem estruturalista era articulada à defesa dos métodos ativos: as propriedades deveriam ser descobertas ou construídas pelos alunos. Ao final da década de 1950, já se propunha trazer o novo enfoque para o ensino elementar e a pré-escola: tratava-se de envolver os alunos, desde cedo, em atividades que promovessem o desenvolvimento do pensamento matemático (^{D’Enfert, 2011}).

Professores secundários de matemática mobilizaram-se na direção da renovação do ensino elementar, com a intenção de formar e orientar experiências a serem desenvolvidas pelos professores primários. Em 1960, Lucienne Félix publicou o livro Mathématiques modernes: enseignement élémentaire, dirigido a professores da escola primária e do primeiro ciclo do secundário. A convite de Roger Gal, que coordenava o Departamento de Pesquisa Pedagógica do IPN francês, Lucienne Félix produziu, de 1961 a 1963, um boletim intitulado Education et mathématiques, dirigido a professores primários (^{Gal, 1966}). Em 1965, Guy Brousseau, então professor do ensino elementar, publicou Les Mathématiques du cours préparatoire, um livro com atividades, dedicado às crianças do primeiro ano (6 anos de idade).

Nicole Picard menciona as produções de Lucienne Félix e Guy Brousseau em seus artigos. Mas para justificar uma experimentação mais ampla, como preparação de uma reforma, ela destaca projetos desenvolvidos em outros países, especialmente em diferentes partes dos Estados Unidos, sob a direção de equipes das universidades. Na perspectiva de Picard, todos corroboravam a ideia de que as crianças poderiam construir seu próprio “universo matemático” (^{Picard, 1966}, p. 22) se tivessem a oportunidade de realizar atividades variadas, estabelecer relações e construir suas próprias representações. A principal referência para a experimentação, contudo, eram os escritos de Zoltan Paul Dienes, que iniciara um projeto em Leicester, Inglaterra, e fora professor visitante na Universidade de Adelaide, na Austrália, de 1961 a 1965. (^{Picard, 1966}). Dienes orientou estágios no IPN em 1965 e, segundo Louis Legrand, sucessor de Roger Gal, Dienes teria sido um dos grandes impulsionadores da investigação coordenada por Picard (^{Legrand, 1967}).

Inspirado nos estudos de Jean Piaget sobre o isomorfismo entre as estruturas matemáticas e as estruturas da inteligência, e sobre as diferentes etapas de desenvolvimento do pensamento lógico-matemático, Dienes defendia um processo de aprendizagem inteiramente sustentado na construção dos conceitos e das estruturas pelas crianças. Para tanto, propunha intensa atividade com materiais manipuláveis, precedendo a escrita, e a interação entre as crianças por meio de jogos e discussões.

A empreitada do IPN teve início com turmas de primeiro ano do ensino elementar (cours préparatoire, 6 a 7 anos de idade), em três escolas de Paris: a École Alsacienne, laica e privada, lugar de variadas inovações desde o século XIX, e duas escolas públicas - uma de meninos e outra de meninas. No ano seguinte, a experiência foi estendida a turmas de segundo ano (cours élémentaire 1) e a classes experimentais de primeiro e segundo ano em diferentes regiões da França. Assim prosseguiu, alcançando a cada ano mais uma série do ensino primário (^{Picard, 1966}; 1967).

Para orientar o trabalho dos professores nas escolas, e foi construído um roteiro de temas a serem abordados, bastante diferente do programa em vigor, ainda que preservando seus tópicos principais. Assim, por exemplo, atividades de classificação, de estabelecimento e estudo de relações entre elementos de um conjunto ou entre conjuntos, e de operações com conjuntos deveriam preceder o estudo dos números. O estudo dos operadores deveria preceder o das operações numéricas, como veremos mais adiante primário (^{Picard, 1966}; 1967).

Como coordenadora da grande experimentação, Nicole Picard desempenhava vários papéis, ao mesmo tempo. Animava reuniões quinzenais de discussão sobre a matemática moderna e a experimentação, com professores e pesquisadores, no IPN; elaborava roteiros, atividades e materiais a serem experimentados; coordenava, registrava e avaliava a experimentação em algumas escolas, notadamente, na École Alsacienne de Paris. Sobre as reuniões no IPN, ela relata que reuniam cerca de 15 pesquisadores no início, e foram se ampliando, agregando 120 no último ano (^{Picard, 1973}).

Pode-se supor que as orientações gerais do processo eram tratadas nesse debate amplo. Entretanto, o detalhamento e, sobretudo, a validação da experimentação era construída no acompanhamento das salas de aula:

Para todos [professores] forneci durante o ano tipos de exercícios acompanhados, na medida do possível, de fichas pedagógicas com a finalidade de explicar aos professores os porquês das coisas. Também fui às salas de aula mas, para dizer a verdade (eu não sei a opinião dos professores sobre isso), eu não acredito que minha presença fosse indispensável aos professores, a não ser quando havia uma dificuldade particular que tentávamos resolver juntos, ali mesmo, na sala de aula. Em contrapartida, para mim, aquilo era extremamente precioso. A organização da experiência era tal que eu não dispunha de um ‘laboratório’ onde ensaiar, testar as ideias tanto matemáticas quanto pedagógicas que me pareciam válidas, de modo que eu reunia em um canto da sala grupos de 4 a 8 alunos que eu fazia trabalharem, cujas reações eu anotava tão cuidadosamente quanto possível, e com os quais eu testava exercícios antes de os mostrar à professora (^{Picard, 1966}, p. 22).

A experiência era conduzida em modo artesanal, mas havia, desde o início, uma ambição de sua generalização a todas as escolas primárias francesas. Em 1966, Nicole Picard inicia a publicação de relato detalhado da experiência em curso, na revista Courrier de la Recherche Pédagogique. No mesmo ano, inicia a publicação de sua coleção, com o livro Des ensembles à la découverte du nombre, destinado aos professores da pré-escola e do primeiro ano do curso elementar, e À la conquête du nombre, um conjunto de fichas para uso dos alunos do primeiro ano. As ideias modernizadoras também foram divulgadas por filmes, transmitidos pela Radio Télévision Scolaire de 1964 a 1971.

De outubro de 1968 e durante todo o ano de 1969, Esther Pillar Grossi reside em Paris, sendo convidada a estagiar no IPN, sob a orientação de Nicole Picard, e frequentar curso de mestrado na Universidade de Paris, sob a orientação de Pierre Gréco, pesquisador da psicologia do desenvolvimento cognitivo e antigo colaborador de Piaget. Nesse período, acompanha as aulas na École Alsacienne, observando as atividades e discussões das crianças, fazendo anotações e participando das reuniões de planejamento e avaliação da experimentação em andamento (^{Grossi, 2007b}).

De volta a Porto Alegre, em 1970, Esther Grossi desenvolve intensas atividades no Laboratório de Matemática do Instituto de Educação. Retoma o curso de Didática da Matemática Moderna na Escola Primária, ministrando 96 horas de aula; profere um ciclo de palestras, semanais, sobre Matemática Moderna no Jardim de Infância e na Escola Primária; coordena reuniões semanais de estudo; realiza orientação semanais às professoras envolvidas na Experiência de Renovação do Ensino da Matemática na Escola Primária do IE, iniciada em 1968 e coordenada pela professora Maria Celeste Koch (^{Instituto..., 1970}).

Em 1968, ela já havia publicado, na Revista do ensino, periódico dirigido aos professores primários do Rio Grande do Sul, o artigo Introdução à topologia do plano, reproduzindo atividades constantes do tomo Topologie, do livro À la conquête du nombre. Em 1971, publica uma série de três artigos com o título Matemática chamada moderna no primeiro ano primário, apresentando relatos de experimentação em Porto Alegre e atividades inspiradas nos livros de Dienes e de Picard.

Aulas, palestras, reuniões de estudo, artigos na Revista do Ensino foram espaços de divulgação das ideias e dos materiais de Nicole Picard. Todavia, em 1971 já não encontramos referências a Esther Grossi nos relatórios do Laboratório de Matemática. Podemos presumir que nessa época Esther se afastou do Laboratório para se dedicar ao recémfundado Grupo de Estudos em Ensino de Matemática de Porto Alegre (GEEMPA), do qual era principal articuladora e presidente. Tendo sido a primeira e a mais conhecida divulgadora de Nicole Picard em Porto Alegre, Esther contudo não consta como responsável pelas traduções de seus textos encontradas no Laboratório do IE.

Máquinas: estudo e prática das ideias de Nicole Picard

Somente a presença dos livros de Nicole Picard no acervo do Laboratório de Matemática não nos revela muito sobre o interesse das professoras do Instituto de Educação em sua obra. Porém, as traduções realizadas nos indicam alguns de seus objetivos de estudos. Por outro lado, atividades de cursos, produções de professoras e alunas, exemplificam como e quando as ideias da autora francesa eram colocadas em prática.

Em seus livros, Picard escreve sobre suas experiências de pesquisa, articulando teoria e prática. Em artigo publicado no ano de 1967, relata experiência desenvolvida com turmas do cours élementaire 2 sobre o trabalho com as máquinas. O trecho do artigo foi traduzido por Ely Machado Campos, professora de Didática da Matemática, conforme mostra o Quadro 1. O relatório de 1971 indica que a tradução foi realizada naquele ano e que Máquinas era um dos assuntos mais procurados nas consultas de professores e estudantes que visitavam o Laboratório (^{Instituto..., 1971}).

A proposta de estudo das máquinas é inspirada nos escritos de Dienes sobre operadores. Depois de explorar diferentes tipos de relações em diferentes conjuntos (por exemplo, a relação dada por ser irmão de ou ser mais velho que), o trabalho se concentra em relações funcionais (a cada elemento do conjunto de partida corresponde no máximo um elemento do conjunto de chegada, como na relação dada por ser filho de, em um conjunto de homens). E então, dentre as relações funcionais, destacam-se “aquelas que transformam um estado inicial em um estado final; nós as designaremos sob o nome de operador” (^{Picard, 1967}, p. 12, nossa tradução, grifos no original). Argumentando que a noção de que uma máquina transforma é uma noção familiar para as crianças do século XX, as atividades com máquinas são propostas como caminho para aquisição dos conceitos de operador e função. Sempre privilegiando as noções mais genéricas, a abordagem proposta por Picard é iniciar explorando máquinas não numéricas, por exemplo, máquinas que transformam objetos manipuláveis como os blocos lógicos (^{Picard, 1967}). A Figura 2 mostra uma caixa de blocos lógicos produzidos pela editora Office central de librairie (OCDL), adquiridos pelo Laboratório de Matemática, com referência ao matemático e psicólogo Zoltan Dienes⁶.

Fonte: Acervo do Laboratório de Matemática do Instituto de Educação General Flores da Cunha.

Figura 2 Conjunto de blocos lógicos 

O texto traduzido por Ely Campos traz registros do diário de campo de Nicole Picard, de uma situação em que ela interagiu diretamente com um grupo de crianças em sala de aula. Ela relata que crianças de uma turma da experimentação foram convidadas a simular máquinas que mudam a cor, máquinas que mudam a forma, máquinas que mudam cor e forma de objetos. Depois dramatizaram o funcionamento de uma fábrica, fazendo máquinas funcionar em cadeia; sendo cada máquina representada por uma criança. Uma criança então escolhia um objeto para ser transformado e outras eram encarregadas de descobrir o produto da transformação operada por cada máquina. A partir da dramatização, várias questões foram propostas às crianças: é possível substituir toda a fábrica por uma máquina apenas? A partir desse estudo da composição de transformações, foram investigadas várias propriedades: a existência de máquinas que não fazem nada (elemento neutro), a comutatividade e a associatividade da composição, e a existência da máquina que desfaz o que outra faz (elemento inverso).

Os operadores numéricos foram introduzidos a partir da observação das situações de entrada e de saída representadas na Figura 3, as quais as crianças identificaram com uma máquina que junta dois objetos, à qual Nicole faz corresponder a escrita +2 em uma lousa.

Fonte: ^{Picard (1967}, p. 18).

Figura 3 Representação de Nicole Picard para uma máquina que junta dois objetos 

A seguir, foi construída uma fábrica: em pequenas lousas, usadas pelas crianças na época, foram escritos os operadores numéricos: +2, +3,−2, +5, +1 e assim por diante, representando as ações de juntar e retirar uma certa quantidade de objetos de uma coleção. Cada criança segurando uma lousa representava então uma máquina. Uma criança dizia um número para a primeira máquina, outra criança dizia o resultado, que alimentava a próxima máquina, e assim por diante. A Figura 4 ilustra a dramatização narrada por ^{Picard (1967)}. A partir da discussão, foi discutido com as crianças qual máquina poderia substituir uma determinada sequência, se uma máquina poderia ser substituída por duas ou mais, e assim por diante.

Fonte: ^{Picard (1967}, p. 18).

Figura 4 Cadeia de máquinas que somam e subtraem 

Todo o trabalho com máquinas deveria preparar o estudo das operações numéricas. Desse modo, Nicole Picard apresenta duas abordagens diferentes para as operações aritméticas: as operações entre conjuntos (união, diferença, separação) e a noção de funções. A Figura 5 ilustra a representação dos dois pontos de vista para a operação 3 x 4 = 12.

Fonte: ^{Picard (1967}, p. 18).

Figura 5 Representação da operação 3 x 4 = 12 dos pontos de vista conjuntista e funcional 

Acreditamos que essa metodologia proposta pela autora foi motivo de curiosidade e estudo das professoras do Instituto de Educação, estimulando a tradução de partes de suas obras.

A introdução dos conceitos de operação ou função utilizando máquinas aparece em materiais e atividades propostos em cursos de formação envolvendo conteúdos do movimento da matemática moderna. O material Algumas sugestões para introduzir o conceito de operação⁷, usado no Curso de Atualização sobre o Ensino de Matemática em algum momento dos anos 1970 ou 1980, reproduz uma sequência de abordagem em que as máquinas são o tema central da proposta. Em conversa informal, no primeiro momento, a professora deveria indagar se os estudantes conheciam o termo operação. Após as manifestações dos alunos e poucas intervenções da professora, teria início a conversa sobre as máquinas, utilizando a experiência de vida dos alunos como fio condutor da conversa. Trazendo a mesma ideia de Nicole Picard, de que o conceito de máquinas é familiar às crianças, o texto propõe uma introdução aos conceitos de operação e função.

Em material do Curso de Didática da Matemática, elaborado por Nelcy Borella, em algum momento das décadas de 1970 ou 1980, os livros A la conquête du nombre II e Journal de mathématique I constam como bibliografia da atividade. A Figura 6 apresenta um recorte do material Sugestões de atividades sobre estados e operadores, em que vemos clara referência às máquinas e aos blocos lógicos, material didático também utilizado nos estudos e atividades do Laboratório de Matemática.

Fonte: Disponível em http://hdl.handle.net/20.500.11959/10000001146.

Figura 6 Recorte de atividade Sugestões de atividades sobre 

Vestígios das ideias de Nicole Picard aparecem em vários outros documentos esparsos, como as Sugestões de Esther Pillar Grossi à Experiência de Introdução da Matemática Moderna no 1º ano Primário no Grupo Escolar Monteiro Lobato sob a orientação da professora Yeda Simões Pires (tombo 846)⁸, ou um material de planejamento do Curso de Atualização sobre o Ensino de Matemática – Jardim de Infância⁹, de 1978, ou as Sugestões de fichas gráficas, usadas no Curso de Atualização sobre Ensino de Matemática 1ª a 4ª série, de 1983¹⁰ (tombo 1746).

Vemos, portanto, que as ideias de Nicole Picard foram referidas em materiais produzidos e usados em cursos para professores, ao longo dos anos 1970 e 1980. E assim, circularam para além do Instituto de Educação, pelas mãos de professoras que frequentavam os cursos de atualização ou buscavam orientação junto ao Laboratório de Matemática. Foram experimentadas no Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), em 1973, quando o ensino de Matemática era orientado pelas professoras Gelsa Knijnik e Léa Fagundes, que também participavam do Laboratório de Matemática do Instituto.

Máquinas nos planejamentos curriculares do novo ensino de primeiro grau

Marcas das ideias de Nicole Picard também foram encontradas em documentos que propõem uma orientação curricular para o ensino de primeiro grau, constituído a partir da fusão do primário e do ginásio pela Lei n. 5692/71.

Nas diretrizes curriculares propostas pela Secretaria Estadual de Educação do ^{Rio Grande do Sul (1972)}, as ideias do movimento da matemática moderna estão presentes. Mas a ideia de enfocar funções nos primeiros anos do ensino de primeiro grau não foi adotada. Não há indícios dos conceitos abordados por Nicole Picard no texto oficial. Mas eles estão presentes em outros textos elaborados no mesmo período.

O documento Linhas metodológicas para o ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos no 1º grau, elaborado em 1974, traz uma proposta metodológica a ser instituída no primeiro grau. Na reformulação do ensino-aprendizagem de matemática, com referência nos trabalhos de Dienes e Picard, são elencados cinco princípios orientadores das metodologias a serem trabalhadas em sala de aula: princípio da construtividade, princípio da variabilidade matemática, princípio da variabilidade perceptual, princípio do constraste e princípio da utilização de representações (^{Instituto..., 1974}).

Já o documento Seleção de conteúdos de matemática – Ensino de Primeiro Grau, de 1976, apresenta uma “tentativa de estabelecer uma linha sequencial de conteúdos matemáticos para o Instituto de Educação General Flores da Cunha”, para o ensino de primeiro grau. Para a segunda série, são indicados os temas Função – máquina – operador como preparação para o estudo dos sistemas de numeração e dos “fatos básicos da adição e da subtração”. Na terceira série, a máquina de inchar e a máquina de murchar deveriam preceder o estudo da multiplicação e da divisão (^{Instituto..., 1976}).

Em 1972, o GEEMPA, presidido por Esther Pillar Grossi, iniciou, sob a orientação de Dienes, uma experimentação com oito classes-piloto, que deveria ter a duração dos oito anos correspondentes ao primeiro grau. A proposta curricular para a primeira série é inspirada na experimentação desenvolvida pelo IPN, na França: “A organização desta sequência de conteúdos foi feita paralelamente com experimentação em escolas, por professores do GEEMPA, e se inspirou para as primeiras séries nas pesquisas de Nicole Picard em Paris” (^{GEEMPA, 1975}, p. 26). A ideia das máquinas está presente na programação para a primeira série, como componente da construção do conceito de número cardinal; mas aparece também na programação para a segunda e a terceira série; enquanto os conceitos de operador e de função são mencionados em todas as séries.

Vemos que as propostas de Nicole Picard deixaram marcas em diferentes propostas curriculares elaboradas em meados dos anos 1970, em Porto Alegre, indicando que suas ideias foram estudadas, difundidas e colocadas em prática em salas de aula do ensino primário, no Instituto de Educação e em outras escolas.

É interessante registrar que a maior parte das traduções de textos de Nicole Picard encontradas no acervo são dos anos de 1975 e 1976, na mesma época em que foram elaboradas essas propostas curriculares. As traduções eram atribuição da professora Maria Feijó Monteiro e revisadas pela professora Ely Machado Campos, então coordenadora do Laboratório de Matemática. A professora Ely Campos foi, portanto, uma das principais impulsionadoras da divulgação das ideias de Nicole Picard em Porto Alegre.

Marcas de um diálogo entre professoras modernas

As dinâmicas de mudança do ensino de matemática foram diferentes, na França e no Brasil. Na França, as discussões sobre um novo programa de matemática para o ensino primário tiveram início em 1969. Segundo d’Enfert (2011), havia duas propostas em debate na CEEM: uma, proposta pela equipe do IPN, que pretendia uma revisão ampla, a ser aplicado paulatinamente, série a série; outra, defendida pelos inspetores-gerais do ensino, mais moderada. A segunda alternativa foi a adotada; em 2 de janeiro de 1970, um decreto ministerial introduz mudanças no programa do ensino primário, que vigorava desde 1945. Na Circular que acompanha o decreto, aparece a ideia de operador, a ser estudada no quarto e quinto ano primário, mas não com o sentido que tinha na experimentação do IPN – como preparação para a construção da ideia de número e de operações numéricas.

Sobre esse programa, Nicole ^{Picard (1973}, p. 9) comenta:

Como se poderia esperar, foi o segundo ponto de vista o adotado pela Comissão: alguns de seus membros eram pouco favoráveis à liberdade pedagógica e outros, embora considerassem que o primeiro projeto era melhor, consideravam-no prematuro e inaceitável para a administração. Uma tal autocensura é, na minha opinião, uma má estratégia para avançar.

[...] Na verdade, apesar de tudo, as pesquisas efetuadas tiveram uma influência certa sobre a redação do programa e dos comentários. Uma boa parte dos redatores de fato pensou esse programa em função das possibilidades de abstração das crianças. A introdução (na verdade não explicitada) da função linear no quarto e quinto ano é fruto de uma experimentação séria. [...] Mas justamente, sempre com o objetivo de não traumatizar os professores, de redação em redação, os comentários oficiais cada vez menos explicitaram as novas introduções. Os comentários apresentam exemplos – o que é novo e é bom – mas o porquê das mudanças não é precisado. Tampouco se esclarece que a experiência mostra que uma abstração só pode ser feita substituindo métodos dogmáticos, aprendizagens de regras e de vocabulário, por métodos que mobilizam a atividade e a participação das crianças.

As discussões coordenadas pelo IPN foram suspensas também em 1970. Pesquisas e debates sobre a mudança no ensino de matemática passaram a ser encampados pelos Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques (IREMs), criados a partir de demandas dos professores de matemática do ensino secundário. A CEEM, encarregada de planejar a continuidade da reforma, encerrou seus trabalhos em 1973. Ao final da década, foram publicados novos programas, que procuravam conciliar as mudanças de 1970 com a tônica nas habilidades de cálculo, incluindo a memorização das tabuadas de adição e multiplicação (^{D’Enfert, 2017}). Assim, podemos considerar que na França houve um arrefecimento importante do movimento modernizador, embora os livros de Nicole Picard e muitas outras propostas continuassem circulando.

No Brasil, os debates sobre a modernização do ensino seguiram ritmos e tendências diferentes em cada região. Em Porto Alegre, as iniciativas das professoras do Instituto de Educação e do GEEMPA promoveram um amplo debate sobre as propostas de renovação do ensino primário, sustentadas pela perspectiva construtivista. Zoltan Dienes, em colaboração com o GEEMPA, veio várias vezes a Porto Alegre para ministrar cursos, palestras e acompanhar a experimentação em curso. Seus livros foram publicados em português e seu nome circulou na mídia, bem mais amplamente que o nome de Nicole Picard.

Os vestígios encontrados no Laboratório de Matemática, contudo, nos mostram que os textos de Nicole Picard também foram referências relevantes para os esforços de renovação do ensino desenvolvidos no Instituto de Educação, que envolveram desde a formação continuada de professores até a elaboração de novos currículos. E essa referência não se limitou ao tempo em que Nicole Picard dirigia a preparação de uma reforma na França, mas perdurou até os anos 1980, quando muitos autores e professores consideravam que a matemática moderna era um assunto do passado.

Podemos pensar que o importante papel desempenhado por Picard no IPN e na CEEM contribuiu para que as professoras do Instituto de Educação dessem atenção aos seus escritos. Mas, para entender o modo como se mobilizaram para estudar, traduzir e divulgar seus textos é necessário considerar como as propostas de Picard dialogavam com os esforços de renovação empreendidos no Instituto.

Nicole Picard alinhava-se com o construtivismo preconizado por Dienes e sustentado pelas pesquisas de Piaget. Coerente com a perspectiva construtivista, suas propostas didáticas eram debatidas em reuniões amplas, discutidas com as professoras e avaliadas e corrigidas a partir da experimentação em sala de aula, minuciosamente relatada em seus artigos. A condução do experimento, testemunhada e vivenciada por Esther Grossi, durante seu estágio no IPN, é um exemplo interessante de diálogo entre professores licenciados em Matemática e professores e formadores do âmbito do ensino primário, como se buscou fazer também no Instituto de Educação.

Os livros de Nicole Picard eram voltados para o uso em sala de aula, contendo atividades que podiam ser imediatamente replicadas e orientações detalhadas aos professores sobre sua condução. Muitas fichas dirigidas aos alunos sequer demandavam tradução, pois continham apenas figuras. Esse formato – construído para dialogar com professores e alunos do ensino primário na França - certamente favoreceu também o diálogo das professoras do Instituto com seus textos.

Considerações finais

No início deste texto, falamos de um encontro entre uma autora e suas tradutoras. Esther Pillar Grossi conviveu e aprendeu com Nicole Picard, durante seu estágio no IPN, em Paris. Esse convívio marcou sua trajetória de educadora e pesquisadora, sendo por ela rememorado muitos anos depois. Mas o encontro a que nos referimos se deu, sobretudo, pelos textos que circularam no Instituto de Educação, em sua versão original ou traduzida. Foi por meio desses textos que muitas outras professoras frequentadoras do Laboratório conheceram Nicole Picard, e souberam de suas propostas e das experimentações que conduzia.

Ao tratarmos do encontro entre Nicole Picard e as professoras do Instituto de Educação, percebemos uma conexão que foi fruto da iniciativa de educadoras. A mobilização das professoras do Instituto é testemunhada pelas traduções e pelos relatórios. Mas podemos pensar que o encontro também resultou do esforço de Nicole Picard para dialogar com professores e atores da escola primária, sugerindo uma sequência e um repertório de atividades, incentivando sua autonomia e iniciativa, recomendando a flexibilização dos programas e dos procedimentos de avaliação.

Para essa conexão não houve incentivo, muito menos imposição de governos. Como outros trabalhos já mostraram, não é possível compreender a matemática moderna sem considerar o engajamento de professores que tinham o desejo de inovar. Por outro lado, podemos pensar que a enorme mobilização internacional em torno da modernização do ensino favoreceu a divulgação de textos como os de Nicole Picard e a própria ideia de que era possível uns aprenderem com as experimentações de outros, como a própria Picard buscou aprender com os projetos norte-americanos e ingleses, e com autores franceses que se interessavam pelo ensino primário.

Nicole Picard propunha todo um reordenamento das aprendizagens na escola primária. As traduções encontradas no Laboratório de Matemática tratam de alguns dos temas abordados em seus textos e artigos. Destacamos, neste texto, o estudo das operações numéricas articulado à ideia de função, desde as séries iniciais, uma abordagem que ainda parece hoje ousada. Como essas ideias foram experimentadas e avaliadas em salas de aula da escola primária em Porto Alegre? Esse é um tema para investigações futuras.

Talvez os efeitos mais importantes e duradouros das leituras de autores da matemática moderna possam ser percebidas na constituição do ensino de matemática como campo de pesquisa, em Porto Alegre. Os escritos de Nicole Picard foram importantes, sobretudo, para apontar a possibilidade e a fecundidade da sala de aula como espaço e foco de investigação. O campo de pesquisa avançou, nas décadas seguintes: Léa Fagundes, Gelsa Knijnik e Nelcy Borella são algumas das figuras que participaram da vida do Laboratório nos anos 1970 e se constituíram em figuras de referência, no país e no âmbito internacional, no campo da educação matemática ou da psicologia cognitiva.

O olhar ao passado pode nos ajudar a pensar o presente? Pensamos que sim, de diferentes modos. Uma das reflexões suscitada pelo achado dos documentos diz respeito a como professores podem ser protagonistas de sua própria formação quando têm a possibilidade de dialogar e pensar sobre os programas, ao invés de serem vigiados para executá-los. E à variedade de ressonâncias que essa mobilização pode provocar.