1 Introdução

A implementação da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) causou mudanças significativas nos livros didáticos e, consequentemente, poderá impactar o ensino e aprendizagem de Matemática. Pensando nessas alterações, vários questionamentos podem surgir, por exemplo: quais os impactos para o ensino de trigonometria no Ensino Médio após a implementação da BNCC? Quais objetos deixaram de ser contemplados? Quais abordagens estão sendo propostas no livro? Quais as consequências dessas mudanças? Considerando essas indagações, este artigo possui o objetivo de analisar as mudanças relacionadas à abordagem da função seno presente em um dos livros didáticos de Matemática aprovados no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) 2021 em comparação a um dos aprovados no PNLD 2018.

A escolha por essa temática ocorreu durante a participação da primeira autora na disciplina “Livro Didático no Ensino de Ciências e Matemática” do programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, da instituição Universidade Federal de Sergipe (UFS), ministrada pelos coautores deste artigo. Os desígnios realizados justificam-se pelo fato de o livro ser um dos recursos mais utilizados por professores e de maior acesso dos estudantes. Segundo ^{Biehl e Bayer (2009, p. 1)}, o livro didático “contribui para o processo de ensino e aprendizagem, tendo em vista que, muitas vezes, é o único suporte que os professores têm para preparar suas aulas.” E, por um bom tempo, de acordo com Bittencourt (2008), os livros eram fonte de instrumento para o professor aprender o método de ensino a ser utilizado em suas aulas.

Mesmo existindo, atualmente, diversos recursos para o professor elaborar e desenvolver suas aulas, o livro didático ainda é uma peça fundamental na educação. ^{Pires e Curi (2013)} destacam que, entre os professores, os livros didáticos são os materiais mais difundidos e utilizados, enquanto os documentos curriculares prescritos parecem causar pouco impacto nas práticas docentes. Sendo assim, é importante escolher bem o livro que será utilizado e compreender as mudanças que estão presentes naqueles aprovados no PNLD 2021 para o Ensino Médio, visto que é a primeira versão após a implantação da BNCC.

A forma como as funções estão sendo abordadas é um ponto importante a ser observado, pois trata-se um dos objetos matemáticos fundamentais e com maior ênfase no Ensino Médio. Ao fazer um levantamento da presença das ideias base de função na apresentação do conteúdo matemático função afim pela coleção “Contato Matemática”, aprovada pelo PNLD 2018, ^{Krug e Nogueira (2022)} inferiram que, com relação à noção de função, era preciso que o professor complementasse tanto no conteúdo teórico quanto nas atividades práticas.

Portanto, este artigo possui a seguinte questão de pesquisa: Com a implementação da BNCC, quais as mudanças relacionadas à abordagem da função seno presente no livro didático de Matemática do Ensino Médio aprovado no PNLD 2021? Para respondê-la, será abordada a Teoria Antropológica do Didático (TAD) como base teórica e metodológica para a análise. Após apresentá-la, discorreremos sobre os caminhos desta pesquisa, destacando a metodologia realizada e a justificativa das escolhas adotadas. Em seguida, é apresentada a análise da abordagem da função seno nos livros didáticos selecionados, e, por fim, se faz presente as considerações finais com os resultados obtidos e a resposta da questão de pesquisa.

2 A Teoria Antropológica do Didático

A Teoria Antropológica do Didático (TAD) vem ganhando destaque nas pesquisas brasileiras e foi desenvolvida por ^{Yves Chevallard (1998)}, educador francês que a apresenta como um complemento da Transposição Didática, também abordada por ele. ^{Almouloud (2015, p. 10)} menciona que a TAD, “segundo Chevallard, estuda o homem frente ao saber matemático, e mais especificamente, frente a situações matemáticas.” Devido à teoria situar “a atividade matemática, e, portanto, a atividade de estudo da matemática, em todas as atividades humanas e instituições sociais” (^{CHEVALLARD, 1998, p. 91}), recebeu o termo “antropológico”.

^{Chevallard (1998)} ressalta que o postulado da TAD rompe a visão particularista do mundo social e retrata que toda atividade humana pode resumir-se à palavra praxeologia (do grego praxi = ação e logia = conhecimento). Segundo Cavalcante, Lima e Andrade (2016), a Didática da Matemática apresenta campo favorável para o olhar na perspectiva antropológica.

Com relação ao conhecimento matemático, a TAD apresenta duas praxeologias: a primeira é a praxeologia matemática ou Organização Matemática (OM), pautada nas tarefas e técnicas; e a segunda é a praxeologia didática ou Organização Didática (OD), centrada no processo de desenvolvimento do ensino.

Na praxeologia matemática são apresentados quatro elementos que sustentam essa organização, a saber: tipo de tarefa (T); técnica (t); tecnologia (θ) e teoria (Θ). Eles são articulados pelo bloco prático-técnico que envolve o tipo de tarefa e a técnica (saber-fazer) e o bloco tecnológico-teórico que envolve tecnologia e teoria (saber).

^{Santos e Menezes (2015)} destacam que, na TAD, o tipo de tarefa pode ser compreendido como todo e qualquer objeto que necessite da realização de procedimentos próprios, de modo que uma tarefa pode possuir subtipos de tarefa. Embasados em Yves Chevallard, os autores comentam que o gênero de tarefa é caracterizado por um verbo (por exemplo: construir, realizar, elaborar, entre outros), já a tarefa propriamente dita possui seu conteúdo estritamente especificado. A técnica corresponde à maneira ou modo de se realizar a tarefa; o discurso racional sobre a técnica configura a tecnologia; e a teoria é uma noção que explica e justifica a tecnologia (definições, teoremas, noções...).

De acordo com a ênfase estabelecida, cada elemento da praxeologia matemática poderá ser de um tipo, ou seja, quando a ênfase está em uma única tarefa, têm-se a praxeologia pontual, sinalizada por ^{Chevallard (2009)} como a mais simples:

consiste em um tipo de tarefas T, uma técnica τ, forma de realizar tarefas t do tipo T, de um discurso φ, fundamentado (logotipos) sobre a técnica (tekhnê) que é suposto tornar τ inteligível como meio de acomodar tarefas do tipo T, finalmente – por último, mas não menos importante – de um componente teórico Φ, que rege a tecnologia φ em si (e, portanto, todos os componentes da praxeologia). Tal a praxeologia pontual (o “ponto” aqui é o tipo de tarefas T) é denotado [T / τ / φ / Φ]. Inclui uma parte prática-técnica Π = [T / τ], ou práxis (que pode, se necessário, ser chamada de “know-how”) e uma parte técnico-teórica Λ = [φ / Φ], ou logotipos (que podem ser identificados com “conhecimento” no sentido comum do termo)

(^{CHEVALLARD, 2009}, p. 4, tradução nossa).

Já ao centrar-se em uma tecnologia, tem-se a praxeologia local. Já na praxeologia regional o centro é uma determinada teoria e a praxeologia global foca em mais de uma teoria.

Tratando-se da Organização Didática, ressaltando a exposição de Chevallard, ^{Santos e Menezes (2015)} comentam que não vai existir uma única maneira de abordar uma OM, mas algumas situações (momentos de estudo) surgirão em qualquer que seja o caminho. Assim, são apresentados os seis momentos de estudo, sendo eles: 1) primeiro contato com a OM permeado por um encontro cultural-mimético ou situações fundamentais; 2) exploração e elaboração de técnicas relativas aos tipos de tarefas; 3) constituição do entorno tecnológico-teórico relativo à técnica e ao tipo de tarefa proposto pela OM; 4) o trabalho da técnica; 5) institucionalização, ou seja, oficialização dos elementos da OM; 6) avaliar o que de fato foi aprendido com a OM. Esses momentos irão auxiliar o professor a ter um checklist para analisar os processos didáticos empregados e identificar os problemas na realização dos momentos de estudo.

A TAD apresenta algumas noções primitivas para que seja possível compreender a referida teoria. Em uma comunicação ocorrida em Paris, ^{Chevallard (2003)} mencionou quatro noções fundamentais: objeto (O); relação pessoal R(x, o); pessoa (x) e instituição (I).

O objeto é o elemento básico, tanto que, segundo ^{Chevallard (2003, p. 81)}, “tudo é objeto”. Já a pessoa “X”, na TAD, é um processo de estágios que inicia como indivíduo (aquele que não muda ao se relacionar com objetos e instituições), passa a ser sujeito (aquele que se relaciona com uma instituição) e, por fim, torna-se pessoa (o conjunto de sujeitos do indivíduo). A instituição “I” pode ser entendida como uma estrutura heterogênea, “em que existem várias relações de pessoas X com objetos O que pertencem a I” (^{SANTOS e MENEZES, 2015, p. 651}).

No que diz respeito à relação pessoal R(x, o), ^{Chevallard (2003)} destaca como sendo a relação pessoal do indivíduo com o objeto que, quando não é vazia, é porque o objeto (O) é conhecido pelo indivíduo (X). Segundo ^{Cavalcante, Lima e Andrade (2016)}, a relação pessoal R(x, o) propõe a existência de vários saberes já comportados na Transposição Didática. Chevallard (1996) afirma:

Eis agora em condições de formular uma tese epistemológica fundamental. Afirmo, com efeito, que esse objeto impossível de encontrar, erraticamente presente nos nossos discursos e no nosso pensamento relativo à didática, esse objeto polêmico e por vezes mesmo tabu a que chamamos a didática, e cujas noções de contrato didático e de transposição didática nos aparecem, a priori, como conceitos potenciais (entre outros), não é senão a didática dos saberes

(^{CHEVALLARD, 1996}, p. 149).

Cavalcante, Lima e Andrade (2016 p. 9) pontuam: “Para Chevallard o olhar antropológico funda uma nova epistemologia que não se preocupa somente com a construção do saber, mas com sua difusão, sua utilidade, seu ensino e aprendizagem”. Além da relação pessoal, existem muitas outras relações na TAD, e elas são o ponto-chave para que a aprendizagem aconteça.

De acordo com ^{Santos e Menezes (2015)}, a aprendizagem ocorre quando existe alteração na relação entre a pessoa e o objeto. Quando estão em conformidade as relações entre pessoa e objeto e entre instituição e objeto, dizemos que a pessoa se tornou um sujeito adequado para, assim, a instituição manifestar intencionalidade na aprendizagem. Para identificar se o sujeito está ou não em conformidade, a instituição realiza a avaliação institucional. Se ela for utilizada apenas com a intenção de controlar essa conformidade, poderá influenciar a relação do sujeito com objeto fazendo com que este realize ações para estar em consonância com a instituição, comprometendo a formação dos conceitos do objeto.

3 Caminhos da pesquisa

Para este estudo foi utilizado o livro didático de Matemática do Ensino Médio aprovado pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Dessa forma, segundo as ideias de Gil (1989), esta pesquisa está definida como bibliográfica, pois utiliza material já elaborado.

Visando responder à seguinte questão: Com a implementação da BNCC, quais as mudanças relacionadas à abordagem da função seno presente no livro didático de matemática do Ensino Médio aprovado no PNLD 2021? Analisamos os livros didáticos intitulados “Matemática Contextos & Aplicações” e “Matemática em Contextos”, da Editora Ática, aprovados, respectivamente, no PNLD de 2018 e 2021, para comparar a abordagem do objeto matemático função seno presente em cada um deles e, assim, atingir o objetivo deste estudo. Vale ressaltar que o primeiro livro mencionado foi escrito por Luiz Roberto Dante e o segundo por Luiz Roberto Dante e Fernando Viana.

A escolha do segundo livro, em específico, foi devido à obra ser utilizada pela primeira autora deste artigo no colégio em que é professora regente. Quanto à área da Matemática escolhida para ser investigada (trigonometria), também possui relação com a primeira autora, pois utilizará o objeto matemático de conhecimento (função seno) na sua pesquisa de dissertação.

Com a intenção de obter uma visão geral da abordagem da função seno proposta pelo livro didático, será feita a análise institucional definida como

um estudo realizado em torno de elementos institucionais, a partir de inquietações/questões levantadas pelo pesquisador no contexto institucional correspondente, permitindo identificar as condições e exigências que determinam, nessa instituição, as relações institucionais e pessoais a objetos do saber, em particular, os objetos matemáticos, as organizações ou praxeologias desses objetos que intervém no processo ensino/aprendizagem

(HENRIQUES; NAGAMINE, A. e NAGAMINE, C. 2012, p. 1268).

A supracitada análise a ser utilizada considera três estruturas organizacionais (global, regional e local), apresentadas na figura a seguir:

Fonte: Henriques; Nagamine, A. e Nagamine, C. (2012, p. 1274)

Figura 1 Estruturas organizacionais para analisar o livro didático 

Para este artigo, o foco será na análise da estrutura local. Segundo ^{Henriques, Nagamine, A. e Nagamine, C. (2012, p. 1272)}, a análise institucional permite o “acesso dos elementos característicos da relação institucional com o objeto do ensino visado, bem como das exigências institucionais e das organizações propostas em torno desse objeto.”

Portanto, será apresentada a análise local referente à abordagem da função seno presente em cada um dos livros e, ao analisar o segundo livro, já será feita a análise da abordagem e, também, a comparação com a primeira obra analisada para verificar se existem semelhanças e/ou diferenças.

Cabe ressaltar que uma das mudanças mais perceptível presente nos livros didáticos do Ensino Médio aprovados no PNLD 2021 é a quantidade de volumes: antes eram elaborados três, sendo o volume 1 para o 1º ano; volume 2 para o 2º ano; e volume 3 para o 3º ano. Agora, com a implementação da BNCC, os livros de Matemática passaram a ter seis volumes, de modo que cada um pode ser utilizado em diferentes anos do Ensino Médio, de acordo com a proposta curricular da escola.

Sendo assim, para a análise, será utilizado o volume 2 do livro “Matemática Contextos & Aplicações” aprovado no PNLD 2018 – que será chamado de L₁ – e o volume “Trigonometria e Sistemas Lineares” do livro “Matemática em Contextos”, aprovado no PNLD 2021, o qual será chamado de L₂, ambos da Editora Ática.

Na análise que será apresentada a seguir, foi considerada a presença dos gêneros, tarefas e tipos de tarefas presentes em cada livro, com o intuito de verificar se houve mudanças e quais foram. Sendo assim, ao fazer uma breve leitura dos tópicos envolvendo função seno em L₁ e L₂, foi elaborado um quadro mencionando os tipos de tarefas e tarefas abrangendo a função seno que é contemplada nos livros analisados.

O Quadro 1 será complementado com as questões apresentadas no final da seção sobre função seno de cada livro que contemplam os tipos de tarefas e tarefas mencionadas. Caso surja alguma outra tarefa, será acrescentada no momento da análise.

4 Análise da abordagem da função seno nos dois livros didáticos selecionados

Analisando o volume 2 do livro “Matemática Contextos & Aplicações” da Editora Ática, aprovado no PNLD de 2018, verifica-se que a abordagem da função seno está presente na seção 5 do capítulo 3, o qual inicia com a imagem de um relógio de pêndulo destacando a utilização das funções trigonométricas para descrever o movimento periódico e oscilatório.

Fonte: ^{Dante (2016}, p. 6)

Figura 2 Recorte do sumário da seção 5 do volume 2 do livro “Matemática Contextos & Aplicações” 

Assim, a abordagem da função seno é apresentada em três páginas, contemplando três subseções. No tópico “Estudo da Função Seno”, é apresentada a definição dessa função utilizando o diagrama de Venn para associar um número real ao valor do seno de um ângulo, conforme a Figura 3:

Fonte: ^{Dante (2016}, p. 43)

Figura 3 Abordagem da definição da função seno no L₁ 

Logo após a definição da função trigonométrica seno, é mencionado que já tinha sido feito o estudo do processo para associar um número real x à medida x de um ângulo (ou arco) (à luz da TAD representada como t₁) e obter o valor da função sen x (representada como t₂). Retomando as seções, foi possível identificar a técnica τ₁: realizar a medida na circunferência trigonométrica e subtécnica⁵ associadas à técnica dessas tarefas, sendo elas: τ_1.1: utiliza o ponto (1, 0); τ_1.2: mede na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t, no sentido positivo (como já definimos, sentido anti-horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t); τ_1.3: mede na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t, no sentido negativo (como já definimos, sentido horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t). A τ₂: substituir o valor de x na função; τ₃: calcular o seno.

Em seguida, é abordado o gráfico da função seno na primeira subseção da seção 5. Inicialmente, é feita uma explicação a respeito da construção do gráfico informando que, em alguns casos, são apresentados valores aproximados. Também é apresentada duas tabelas para auxiliar na construção do gráfico e, em seguida, é esboçado o gráfico referente a cada uma das tabelas. Dessa maneira, a técnica abordada no livro para a tarefa t₃: construir o gráfico da função seno é, τ₃: realizar a elaboração de uma tabela com valores de x da 1ª volta positiva; τ₄: quando necessário realizar aproximações; τ₅: fazer o esboço do gráfico.

Fonte: ^{Dante (2016}, p. 43-44)

Figura 4 Tabelas e gráficos da função seno no L₁ 

A próxima subseção destaca a periodicidade da função seno, na qual, por meio da observação do gráfico, é relatada a periodicidade dos valores no intervalo de: ..., [-2π, 0], [0, 2π], [2π, 4π], ... Chegando, assim, na ideia de que a função seno é periódica, como é possível ver na imagem a seguir.

Fonte: ^{Dante (2016}, p. 44)

Figura 5 Abordagem da periodicidade da função seno no L₁ 

Portanto, a respeito da t₄: encontrar o período da função seno, é mencionada a técnica τ₆: observar no gráfico o deslocamento horizontal necessário para que ele comece a se repetir.

Na última subseção da seção 5 é apresentado o “Sinal da função seno” e algumas observações a respeito da função seno.

Fonte: ^{Dante (2016}, p. 45)

Figura 6 Abordagem do sinal da função seno no L₁ 

Para finalizar, é apresentado, para os alunos, um exercício resolvido e outro sem resolução:

Fonte: ^{Dante (2016}, p. 44)

Figura 7 Exercício resolvido presente na seção 5 do volume 2 do livro “Matemática Contextos & Aplicações” 

No exercício 13, a resposta em azul está presente por esse ser um recorte do livro do professor. Fazendo uma análise com base na TAD, é possível perceber que, tanto no exercício resolvido quanto no exercício 13, está presente a seguinte Organização Matemática (OM):

Nos demais exercícios presentes na seção 5 do capítulo 3, foi verificada a presença de nove questões das quais oito abordavam a função seno no enunciado ou em algumas das alternativas. Nessas questões, o intuito da análise é verificar as tarefas e os tipos de tarefas empregados pelo autor do L₁.

Sendo assim, os oito exercícios analisados contemplam os gêneros de tarefa: assinalar, calcular, construir, determinar, identificar e obter. Segundo ^{Chevallard (1998)}, o gênero de tarefa exige um determinante, o qual foi identificado no enunciado das questões. Portanto, complementando e fazendo um recorte no Quadro 1, tem-se o seguinte:

Ressalta-se que a questão 25 presente nos exercícios analisados não foi mencionada por não contemplar a função seno. Perceba que, no Quadro 3, são apresentados seis novos tipos de tarefas que se relacionam com os cinco tipos destacados durante a abordagem da função seno na seção 5, e a questão 20 contempla mais de um tipo de tarefa.

Agora, analisa-se e já compara com o L₁ o volume “Trigonometria e Sistemas Lineares” do livro “Matemática em Contextos”, da Editora Ática, aprovado no PNLD 2021. Nesse L₂, a abordagem da função seno está presente no capítulo 1, seção 2, nomeada por “Funções Trigonométricas”, como é possível ver na figura a seguir.

Fonte: Dante e Viana (2020, p. 7)

Figura 8 Recorte do sumário da seção 2 do volume “Trigonometria e Sistemas Lineares” do livro “Matemática em Contextos” 

A seção 2 inicia-se apresentando duas situações – o relógio de pêndulo e as marés – para comentar sobre o comportamento dos movimentos estarem relacionados às funções do tipo trigonométrica. Nesse primeiro momento, já se percebe uma nova situação sendo abordada.

A subseção “A função seno” inicia-se comentando que, como já se sabe a forma de obter o valor de seno e cosseno de números reais, é possível definir as funções trigonométricas e, em seguida, é formalizado a noção da função trigonométrica seno.

Fonte: Dante e Viana (2020, p. 62)

Figura 9 Abordagem da definição da função seno do L₂ 

Neste tópico, percebe-se as mesmas tarefas presente no L₁, seguidas das mesmas técnicas, qual seja, t₁: associar um número real x à medida x de um ângulo (ou arco) e t₂: obter o valor da função sen x, cuja técnica é τ ₁: realizar a medida na circunferência trigonométrica e subtécnica associadas à técnica dessas tarefas, sendo elas: τ_1.1: utiliza o ponto (1, 0); τ_1.2: mede na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t, no sentido positivo (como já definimos, sentido anti-horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t); τ_1.3: mede na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t, no sentido negativo (como já definimos, sentido horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t). A técnica associada a t₂ é τ₂: substituir o valor de x na função; τ₃: calcular o seno.

O próximo tópico refere-se ao gráfico da função seno e, mais uma vez, a abordagem é semelhante à do L₁.

Fonte: Dante e Viana (2020, p. 62-63)

Figura 10 Tabelas e gráficos da função seno no L₂ 

A mudança apresentada é apenas nas cores, a abordagem permaneceu a mesma do L₁. Consequentemente, o tipo de tarefa e a tarefa são as mesmas mencionadas na análise do L₁, a t₃: construir o gráfico da função seno, seguida de suas respectivas técnicas (ver página 11).

Ao tratar da periodicidade da função seno, o L₂ inicia-se definindo uma função periódica (essa definição é a mesma presente na parte “Fique atento” do L₁) e destaca a mesma técnica τ₆ (observar no gráfico o deslocamento horizontal necessário para que ele comece a se repetir) para realizar a tarefa t₄ (encontrar o período da função seno, é mencionada técnica).

Fonte: Dante e Viana (2020, p. 63)

Figura 11 Abordagem da periodicidade da função seno no L₂ 

Para fechar a seção 2, é apresentado o tópico “Sinal dos valores da função seno” seguindo a mesma estrutura do L₁, como é possível ver a seguir:

Fonte: Dante e Viana (2020, p. 64)

Figura 12 Abordagem do sinal da função seno no L₂ 

Porém, ao mencionar algumas características da função seno, foi feito um incremento nas informações e o que era 1ª característica no L₁ passou a ser introdução desse tópico e a 3ª característica a respeito da função seno não ser injetiva e nem sobrejetiva não está presente no L₂. Diferente do L₁, ao final da subseção sobre a função seno, a atividade só é apresentada após a seção “A função cosseno”, contemplando, assim, as duas funções trigonométricas.

Fonte: Dante e Viana (2020, p. 66).

Figura 13 Atividade envolvendo função seno presente na seção 2 do volume “Trigonometria e sistemas lineares” do livro “Matemática em Contextos” 

Fazendo a análise da atividade 81 presente na página 66 do L₂ à luz da TAD, foi identificado três tipos de tarefas e suas respectivas técnicas foram escritas com base na resolução presente nas orientações específicas do referido livro.

Diante da OM da atividade 81 do L₂, é possível perceber a presença de duas novas tarefas (t_5b e t₁₂) e três novas técnicas (τ_9, τ₁₀ e τ₁₁), que não estavam presentes no L₁. Percebe-se, também, uma maior presença da possibilidade de o estudante desenvolver a observação e argumentação a respeito do assunto abordado.

Nas questões presentes no final do capítulo 2, diferente do L₁, não foi feita a separação em outro tópico para questões do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e vestibulares, mas elas ainda ficaram separadas das demais, sendo abordadas apenas na última página das questões. A quantidade de questões no L₂ é superior ao L₁, ao todo são 24 questões.

Dessas questões, foram consideradas 16 que envolvem a função seno para analisar seus gêneros, tipos de tarefas e tarefas. Assim, o L₂ contempla os seguintes gêneros de tarefas: comparar, construir, determinar, elaborar, identificar, justificar, observar, obter e relacionar. Sendo que o gênero de tarefa determinar está presente na maioria das questões. Complementando e recortando o Quadro 1, tem-se o seguinte cenário:

Comparado com as questões do L₁, foi identificado oito novos tipos de tarefas, sendo que, em algumas questões, são contemplados mais de um tipo de tarefa, a exemplo da questão 83, na qual são apresentados 5 tipos de tarefas.

Nas questões 87 e 89, o enunciado não aborda explicitamente o gênero de tarefa construir, mas, diante do que é solicitado, ficou subentendido pelos autores deste artigo que o tipo de tarefa a ser realizado é exatamente a T₃. Pois na questão 87 o enunciado é: “Como podemos obter o gráfico da função do item A da atividade anterior, já tendo traçado o gráfico da função seno?” (^{DANTE e VIANA, 2020, p. 72}), e no final do enunciado da questão 89 apresenta o seguinte: “[...] Marque esses pontos em um plano cartesiano e identifique a lei de uma função que oferece uma boa aproximação para esses dados” (^{DANTE e VIANA, 2020, p. 72}).

Diante do Quadro 5, fica perceptível a presença de mais de um tipo de tarefa em diversas questões do L₂, além de contemplar novos tipos que não se faziam presentes no L₁.

Como não foi percebido nenhuma questão no L₁ solicitando a justificativa, inferimos que essa pode ser considerada uma das mudanças com relação à BNCC, já que nela é relatado a necessidade de os estudantes estarem em “interação com seus colegas e professores, investigar, explicar e justificar os problemas resolvidos, com ênfase nos processos de argumentação matemática” (^{BRASIL, 2018, p. 519}) para desenvolver as competências que envolvem o racionar. A competência de argumentar também envolve a abordagem de justificativas.

A quantidade de questões solicitadas em L₂ e os tipos de tarefas abordados também foram diferentes do L₁ e, mais uma vez, entendemos que essa mudança está correlacionada à BNCC.

Diante do Quadro 6 fica perceptível a diferença e variedade de tipos de tarefas solicitadas por L₂. Apenas uma questão se repete em ambos os livros analisados: o exercício 20 de L₁ corresponde à atividade 88 de L₂, os demais são diferentes e abordam uma variedade de situações. Os tipos de tarefas e tarefas que não foram contempladas nos exercícios em L₁ ou atividades em L₂ se fazem presentes nas abordagens do objeto matemático analisado.

Os gêneros de tarefas abordados por L₂ (comparar, construir, determinar, elaborar, identificar, justificar, observar, obter e relacionar) estão relacionados ao auxílio no desenvolvimento de competências indicadas pela BNCC (^{BRASIL, 2018}), a exemplo de: raciocinar, representar, comunicar-se e argumentar. Além dos pares de ideias fundamentais: variação e constância; certeza e incerteza; movimento e posição; relações e inter-relações.

5 Considerações finais

A implementação da BNCC ocasionou diversas modificações no âmbito educacional, uma delas foi o livro didático. Eles precisaram se adequar às normas da base implementada, pois ela propõe o desenvolvimento de competências gerais, assim como competências e habilidades específicas para cada área do conhecimento.

Diante disso, é notório que existam mudanças no livro didático, mas quais são elas? Foi pensando nesse questionamento que a seguinte questão de pesquisa foi elaborada: Com a implementação da BNCC, quais as mudanças relacionadas à abordagem da função seno presente no livro didático de Matemática do Ensino Médio aprovado no PNLD 2021?

Para identificar as mudanças, foi feita a análise e comparação entre dois livros didáticos, sendo eles o volume 2 do livro “Matemática Contextos & Aplicações”, aprovado no PNLD 2018, e o volume “Trigonometria e Sistemas Lineares” do livro “Matemática em Contextos”, aprovado no PNLD 2021, ambos da Editora Ática, chamados respectivamente na pesquisa de L₁ e L₂. Foi utilizada a análise institucional proposta por ^{Henriques, Naganime, A. Naganime, C. (2012)}, sendo considerada a análise local. Assim, foi possível identificar que ocorreram sutis mudanças na abordagem do objeto matemático função seno.

As mudanças percebidas entre o L₁ e L₂ foram a nomenclatura de algumas subseções, a organização do texto, as cores usadas na ilustração. Ademais, o L₁ nomeou a apresentação das questões como exercícios e na seção 5 apresentou um exercício resolvido e, logo em seguida, outro exercício seguindo a mesma tarefa (t_5a) para os alunos resolverem. Já o L₂ nomeou as questões de atividades e só apresentou uma atividade após a abordagem da subseção sobre função cosseno, considerando, assim, as duas funções. Fazendo a análise também à luz da TAD, percebeu-se que a atividade (Figura 13) propôs três tipos de tarefas, sendo que uma delas solicitava a justificativa da resposta.

Portanto, consideramos que as mudanças com a implementação da BNCC no volume “Trigonometria e Sistemas Lineares” do livro “Matemática em Contextos”, aprovado no PNLD 2021, a respeito da função seno foi em maior destaque nas questões apresentadas; a abordagem teórica do assunto ainda permaneceu a mesma, ficando, assim, a cargo do professor propor metodologias que auxiliem o aprendizado do referido objeto matemático. Deixamos como sugestão a possibilidade de levar em consideração a vivência dos estudantes, utilizar processos de investigação, modelagem e resolução de problemas que são mencionados na BNCC (^{BRASIL, 2018}), para que ocorra a concretização do desenvolvimento das competências e habilidades.