INTRODUÇÃO

Alguns conteúdos matemáticos, no que se refere à realização das tarefas educativas dos professores e estudantes, são vistos como difíceis de serem vivenciados em sala de aula. Essas dificuldades podem ter origens diversas. Porém, prioritariamente, serão analisadas a partir das situações que as constituem em termos da abordagem didática e epistemológica do conhecimento específico em questão.

O objeto matemático central na discussão deste artigo é a raiz quadrada. O assunto, pouco explorado no ensino básico, tem valor considerável, pois a sua “extração” tanto despertou interesse quanto foi importante para a geometria e para álgebra, como lembra ^{Carvalho (2010}, p. 10): “[...] Essa operação tem nítida importância geométrica, pois permite calcular efetivamente o lado de um quadrado cuja área é conhecida. Além disso, muitos problemas que formulamos em nossa linguagem algébrica moderna conduzem ao cálculo de raízes quadradas”.

Assim, intencionou-se sinalizar dificuldades pedagógicas sobre as operações fundamentais (OFs) enfrentadas por professores e as suas possíveis implicações na aprendizagem desses conteúdos curriculares. A pesquisa em pauta centra-se na radiciação, enfocando a conceituação e o cálculo de raiz quadrada, e foi realizada no âmbito do mestrado profissional em educação da Universidade de Pernambuco (UPE), campus Mata Norte.

O artigo corresponde a um recorte dessa pesquisa de mestrado e trata da formulação de um material de ensino para ser vivenciado com professores do ensino fundamental dos anos iniciais (Pefais) com intuito de viabilizar uma aprendizagem significativa sobre raiz quadrada. Na elaboração desse material, levou-se em consideração as compreensões dos Pefais envolvidos na pesquisa acerca das ideias de quadrado perfeito e das operações de adição, multiplicação e potenciação como conhecimentos prévios.

O interesse por esse conteúdo ocorreu a partir da percepção de que, nos últimos dez anos, boa parte dos artigos da Bolema, Zetetiké e Dynamis sobre os anos iniciais do ensino fundamental tratam de temáticas mais gerais de educação, como currículo, avaliação, formação docente e discente, etc. Quanto aos temas específicos, o bloco de Tratamento da Informação detém o maior número de publicações, em que os artigos que abordam estatística e combinatória superam as publicações de probabilidade. Além disso, as abordagens sobre OFs centram-se em adição, subtração, multiplicação e divisão, raramente incluindo potenciação e radiciação.

A história da matemática (HM) foi adotada como tendência em educação matemática (EM), com intuito de embasar epistemologicamente a abordagem de um texto de apoio, material pedagógico, visando favorecer os processos ausubelianos de diferenciação progressiva e reconciliação integradora. Considerando o tipo de familiaridade que os Pefais já possuem sobre OFs, há expectativa de que o texto de apoio seja qualificado como material potencialmente significativo.

Em síntese, quanto ao cálculo para obtenção de raiz quadrada, historicamente fez-se uso de um método empregado na Babilônia antiga: “[...]. Esta denominación usualmente se extiende al conjunto de Estados situados entre el Tigris y Eufrates y que existieron en el período desde el año 2000 hasta el 200 a. n. e. Hasta nosotros han llegado alrededor de cien mil tablillas de arcilla con escritura cuneiforme. [...]” (Ríbinikov, 1991, p. 27).

Como lembra ^{Mol (2013}, p.23), “Os babilônicos usavam, para o cálculo da raiz quadrada, um método de aproximações sucessivas. [...]”. Esse procedimento era usado pelos babilônios antigos para obter a raiz de um valor numérico que não correspondia a um quadrado perfeito. Porém, o cálculo da raiz quadrada adotado neste artigo faz uso do método babilônico que se encontra no capítulo V, “APOYOS. LAS FORMAS PARA AYUDAR”, de Bardera (2000, p. 196-197).

A sistematização textual deste artigo possui cinco seções, além desta introdução. Na primeira, há dois enfoques: o aporte teórico-epistemológico, respaldado na HM, e o pedagógico, na Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS). Na seção seguinte, situam-se os aspectos metodológicos. Na terceira seção, encontra-se a análise das situações sobre OFs que os Pefais investigados utilizam nas suas práticas. Na quarta, apresenta-se o material sobre raiz quadrada. Na última seção, relata-se as considerações finais.

HM: CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE RAIZ QUADRADA

As inter-relações entre a HM e a EM no Brasil foram iniciadas no Seminário Nacional de História da Matemática (SNHM), realizado no Recife na Universidade Federal Rural de Pernambuco, em 1995, e se fortaleceu com a instauração da HM como campo investigativo advinda do surgimento da Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) em 1999. Nesse período, também surgiram os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), que, se comparados a posicionamentos de estudos mais recentes quanto às importâncias pedagógicas atribuídas a HM, apesar de incipientes, ainda hoje essa crítica envolvendo a sua forma de apresentação chega a ser pertinente.

Apresentada em várias propostas como um dos aspectos importantes da aprendizagem matemática, por propiciar compreensão mais ampla da trajetória dos conceitos e métodos dessa ciência, a História da Matemática também tem se transformado em assunto específico, um item a mais a ser incorporado ao rol de conteúdos, que muitas vezes não passa da apresentação de fatos ou biografias de matemáticos famosos (^{PCNs, 1997}, p. 26).

^{Damazio (2011}) reconhece a ausência de explicações sobre idealizações básicas, como um número inteiro elevado ao expoente zero ser igual a um. Também reconhece que, nos anos 1980, mesmo com poucas credenciais interpretativas, já havia interesse pela epistemologia de muitos conceitos matemáticos, entre eles a potenciação. Depois de recorrer a clássicos da HM, como ^{Boyer (1996}) e ^{Ríbnikov (1987}), sem êxito para apoiar as suas explicações, Damazio (op. cit.) faz opção por jogos pedagógicos na perspectiva histórico-cultural embasada em ^{Vigotski (2001}), com o propósito de aprofundar epistemologicamente a prática pedagógica.

Ainda acerca das contribuições decorrentes do uso da HM no ensino da matemática, pode-se apresentar a seguinte afirmação de ^{Mendes e Chaquiam (2016}, p. 17):

A história pode ser tomada como um aporte para esclarecimentos de cunho epistemológico e didático que poderão contribuir para o professor explicar e orientar a organização das matemáticas escolares. Nesse sentido as informações históricas poderão ser utilizadas para auxiliar o professor de matemática a melhorar o planejamento e a execução de suas explanações durante as aulas de matemática.

Essa citação remete a caminhos do uso da HM para melhorar o desempenho docente sobre a difusão do conhecimento matemático. No entanto, para que isso ocorra, o professor precisa estar devidamente preparado, não se trata apenas de ter feito algumas leituras sobre HM ou de saber replicar certas situações de ensino existentes acerca desse campo de estudo, disponibilizadas nas bibliotecas ou na internet.

Como lembram ^{Gomes e Rodrigues (2014}), nas aulas de matemática o aporte histórico pode favorecer a compreensão do fazer matemático, facilitando o entendimento de conceitos e as suas aplicações. Para ^{Mendes, Fossa e Valdés (2006}, p. 95),

O uso da História da Matemática como recurso didático é imprescindível, pois vai além de um mero elemento motivador nas aulas de Matemática, ou seja, constitui-se em um fator justificante para os porquês conceituais e teóricos da Matemática que devem ser aprendidos pelos estudantes.

Assim, nessas características há indícios de que o uso da HM pode enriquecer o conhecimento docente, melhorando a sua atuação em sala de aula. Nessa direção, ^{Araman e Batista (2013}, p. 04), ao dizerem que “A inserção de elementos históricos traz potencial benefício para a formação do professor de matemática, em diversos aspectos. [...]”, corroboram com tais indícios ao preconizarem que a abordagem histórica conceitual permite conhecer evoluções, dificuldades de aquisição, bem como a sua importância temporal e, além desses enfoques, reconhecer outros conceitos que subsidiam a sua compreensão.

Nesse contexto, faz sentido imaginar que o uso adequado da HM, pressupondo o domínio de modos de lidar com o pensamento matemático em termos de competências, contempla as três formas seguintes, dentre as cinco apontadas por ^{Niss (2010}, p. 33), para desenvolver

Habilidades para responder perguntas em Matemática e com a Matemática:

Entender e lidar com as origens, os escopos e as limitações de determinados conceitos;

Abstrair conceitos e generalizar resultados;

Distinguir os vários tipos de proposições matemáticas, como definições, teoremas, conjecturas e proposições concernentes a objetos únicos e casos particulares.

No uso de abordagens históricas voltadas para a raiz quadrada e, de certo modo, alinhadas com essa terceira forma de habilidades, vale a pena mencionar o trabalho de ^{Carvalho (2010}). Ele enfoca a extração de raiz quadrada recorrendo aos procedimentos mesopotâmicos: à aproximação de Hierão, que viveu na Grécia antiga; aos algoritmos indiano e chinês, este segundo, apesar das críticas sofridas, era tradicionalmente empregado na obtenção do cálculo da raiz quadrada no ensino fundamental; e a um método trazido por Isaac Newton, completamente distinto dos anteriores.

Para evidenciar a diferença entre o propósito educativo de ^{Carvalho (2010}) e o intencionado nesta pesquisa, optou-se por recorrer ao que ^{Chevallard (1991}) intitulou de saber, com as noções de matemáticas, paramatemáticas e protomatemáticas. Nessa perspectiva, a primeira noção remete ao conhecimento do conteúdo, e as duas últimas ao conhecimento pedagógico do conteúdo. Portanto, a proposta de Carvalho (2010) está mais voltada para o conhecimento do conteúdo.

Neste artigo, intenciona-se um ensino que oportunize a aquisição de raiz quadrada como um saber matemático com características inerentes a essas três noções anteriores. Em síntese, há três aspectos a serem explorados. Inicialmente, investe-se no significado do termo “raiz quadrada”, não apenas etimologicamente, mas matematicamente. O Liber Abbaci (“O livro do ábaco” ou “O livro de cálculo”), de Leonardo de Pisa, publicado em 1202, segundo ^{Gonçalves (2011}, p. 83), relata que: “radixquadratum 16 aequalis 4”, ou seja, “O lado do Quadrado de 16 é igual a 4”. Dessa forma, fica claro que a palavra radix não significa raiz, e sim lado de um quadrado.

Após essa abordagem, outro aspecto também importante envolve o símbolo empregado para representar essa idealização. Em se tratando da origem acerca da sua representação simbólica (“√”) ilustrada na Figura 1, esse símbolo está relacionado à abreviatura da palavra radix. Conforme relata Gonçalves (idem): “Quanto à origem do símbolo √, o que aconteceu, de facto, foi que à medida que se foram fazendo cópias deste livro, a palavra radix foi sofrendo abreviações até chegar ao actual símbolo que não é mais do que um alongamento ou variação da letra r [...]”.

Fonte: ^{Gonçalves (2011}, p. 83)

Figura 1 Evolução simbólica (raiz quadrada). 

Assim, é possível identificar que houve uma evolução simplificada em relação à simbologia inicial que parte da representação escrita da própria palavra radix para a versão que se conhece atualmente, ou seja, a configuração de um alongamento da letra r. Por fim, há um terceiro aspecto que compreende o cálculo da raiz quadrada cujo interesse decorreu da seguinte argumentação de Bardera (2000, p. 196): “Creo que no se ha dicho mucho todavía sobre la raíz quadrada, en referência a su algoritmo como en su papel de recurso didáctico”.

ASPECTOS TEÓRICOS E PEDAGÓGICOS QUE EMBASAM O ESTUDO

O uso de teorias pedagógicas para embasar os estudos educacionais a partir dos anos 1980 do século passado aumentaram consideravelmente. Basta uma breve consulta aos anais do Encontro Nacional de Educação (SBEM) para constatar essa afirmação. Os interesses deste estudo foram pedagogicamente formulados a partir da teoria da aprendizagem significativa (TAS) ausubeliana, que, sucintamente, pode ser concebida, segundo ^{Moreira (2016}, p. 7), como

Um processo através do qual uma nova informação se relaciona, de maneira substantiva (não literal) e não-arbitrária, a um aspecto relevante da estrutura cognitiva do indivíduo. Neste processo a nova informação interage com uma estrutura de conhecimento específica, a qual Ausubel chama de “conceito subsunçor” ou, simplesmente “subsunçor”, existente na estrutura cognitiva de quem aprende (grifos do original).

^{Moraes (2012}) destaca que, com essa teoria, se aprende significativamente à medida que a nova informação passa a ter significado para o aprendiz. Contudo, a significação carece de subsídios de atributos pessoais. Essa consideração, dentre outras, encontra respaldo no valor atribuído ao conhecimento prévio do aprendiz nesse âmbito teórico, pois permite a construção de estruturas mentais que viabilizam desvendar outros conhecimentos, promovendo uma aprendizagem eficaz e prazerosa.

Em acréscimo, para realçar essa valorização acerca dos conhecimentos prévios basta observar a seguinte demarcação de ^{Pozo (2005}), conforme relata ^{Ujiie et al. (2017}, p. 61),

As crianças realizam representações do mundo que as rodeia, consoante a sua própria maneira de ver o mundo e de ver a si próprio. Os conhecimentos prévios devem ser encarados como construções pessoais, que o professor tem o dever de procurar conhecer, compreender, e valorizar para decidir o que fazer e como fazer o seu ensino, ao longo do estudo de um tópico. Estes são construídos pelos estudantes a partir do nascimento e o acompanham também em sala de aula, onde os conceitos científicos são inseridos sistematicamente no processo de ensino e aprendizagem.

No marco ausubeliano, a estrutura cognitiva constitui-se de subsunçores inter-relacionados que estão hierarquicamente organizados e relacionados numa dinâmica segundo dois processos, a diferenciação progressiva e a reconciliação integradora. Esses processos encontram-se bem demarcados em ^{Moreira (2011a}). Para ele, “A diferenciação progressiva é o processo de atribuição de novos significados a um dado subsunçor (um conceito, uma proposição, por exemplo) resultante da sucessiva utilização desse subsunçor para dar significados a novos conhecimentos” (^{MOREIRA, 2011a}, p. 20). Por sua vez, “A reconciliação integradora, ou integrativa, é um processo da dinâmica da estrutura cognitiva, simultâneo ao da diferenciação progressiva, que consiste em eliminar diferenças aparentes, resolver inconsistências, integrar significados, fazer superordenações” (p. 22).

Após a alusão a essas idealizações sobre a TAS, diante do interesse de querer saber se existe alguma condição básica para que ocorra efetivamente a aprendizagem significativa, o próprio ^{Ausubel (2002}, p. 25) destaca que isso “[...] Requiere tanto una actitud de aprendizaje significativa como la presentación de un material potencialmente significativo. […]”.

Sobre a segunda condição, Ausubel (idem) evidencia

1) que el propio material de aprendizaje se pueda relacionar de una manerano arbitraria(plausible, razonable y no aleatoria) y no literal con cualquier estructura cognitiva apropiada y pertinente (esto es, que posea un significado <<lógico>>);

y 2) que la estructura cognitiva de la persona concreta que aprendecontenga ideas de anclaje pertinentes con las que el nuevo material pueda relacionar.

Isso significa, conforme ^{Moreira (2011a}), que, antes da organização do conteúdo de ensino no ato da sistematização do material candidato a ser potencialmente significativo, é preciso identificar as ideias mais gerais, inclusivas, os conceitos estruturantes, as proposições-chave. Trata-se, intencionalmente, de mapear o conhecimento do aprendiz acerca do que se pretende ensinar, com intuito de trabalhar numa perspectiva de diferenciação e integração, ou seja, de descer e subir várias vezes nas hierarquias conceituais.

Além desse posicionamento, faz sentido trazer a advertência de ^{Silva (2009}) sobre a importância do processo de elaboração de material de ensino nas pesquisas com professores, em termos de implicações advindas do uso de enfoques teóricos, epistemológicos e pedagógicos na reflexão das suas práticas. Ele afirma que

[...] la elaboración de propuestas didácticas derivadas de problemas enfrentados en el acto de la enseñanza, y que van desde la fragmentación de los contenidos presentados, pasando por equivocaciones y/o errores conceptuales, hasta una mala presentación de los contenidos por parte de los profesores, justifican la necesidad de una mejora [...] proponemos minimizar las dificultades en el acto de enseñanza, partiendo de la utilización de propuestas elaboradas por los propios profesores que buscan, entre otros factores, reducir al máximo la fragmentación, los errores y/o equivocaciones conceptuales, así como la deficiente exposición de los contenidos.

Há três considerações essenciais na elaboração de materiais educativos: que sejam logicamente significativos; que se reduza ao máximo a fragmentação entre os enfoques teóricos, epistemológicos, matemáticos e pedagógicos; e que se reduza também os erros ou equívocos conceituais. Associadas aos aspectos da HM para o ensino de raiz quadrada como aportes pedagógicos e epistemológicos, elas fundamentam o enfoque teórico desta pesquisa.

ENFOQUE METODOLÓGICO

Nas pesquisas em Educação - particularmente no que diz respeito ao ensino de ciências e matemática -, dentre os enfoques quantitativos e qualitativos (ou na combinação de ambos), tem-se observado uma preferência pelas abordagens metodológicas qualitativas. Essa consideração é compartilhada por pesquisadores da área, como ^{Sampieri, Collado e Lucio (2010}), ^{André (2011}) e ^{Moreira (2011b}).

Na intenção de apresentar uma visão global acerca do que pode ser concebido como pesquisa qualitativa, ^{Moreira (2011b}, p. 76) afirma que

O interesse central dessa pesquisa está em uma interpretação dos significados atribuído pelos sujeitos à suas ações em uma realidade socialmente construída, através de observação participativa, isto é, o pesquisador fica imerso no fenômeno de interesse. Os dados obtidos por meio dessa participação ativa são de natureza qualitativa e analisados de forma correspondente. As hipóteses são geradas durante o processo investigativo [...].

Na direção da intenção anunciada, sustentam ^{Gerhardt e Silveira (2009}, p. 31) que “A pesquisa qualitativa não se preocupa com representatividade numérica, mas sim com aprofundamento da compreensão de um grupo social, de uma organização, etc.” E, no que diz respeito à postura do pesquisador, o extrato de ^{Deslauriers (1991}), trazido por Gerhardt & Silveira (2009, p. 32), evidencia que,

Na pesquisa qualitativa, o cientista é ao mesmo tempo o sujeito e o objeto de suas pesquisas. O desenvolvimento da pesquisa é imprevisível. O conhecimento do pesquisador é parcial e limitado. O objetivo da amostra é de produzir informações aprofundadas e ilustrativas: seja ela pequena ou grande, o que importa é que ela seja capaz de produzir novas informações.

Há outros aspectos a serem destacados em relação ao enfoque qualitativo. No que se refere às formas metodológicas - se comparadas a outras formas de abordagem -, a etnografia, o estudo de caso e a pesquisa-ação ocupam lugar de destaque nas pesquisas em educação. Para Eliot (¹⁹⁹³, p. 67), “O objetivo fundamental da pesquisa-ação consiste em melhorar a prática em vez de gerar conhecimentos. A produção e utilização do conhecimento se subordinam a este objetivo e estão condicionadas por ele. [...]”.

^{Dionne (2007}), por sua vez, define a pesquisa-ação como metodologia de ação, em forma de processo de enquadramento da ação, e ilustra a sua visão por meio do processo de resolução de problemas, processo que compreende as seguintes etapas: identificação da situação, projeção de soluções, implementação de soluções e avaliação do procedimento.

Em síntese, propõe-se: identificar a forma como os Pefais promovem o ensino de raiz quadrada; formular hipóteses, recorrendo à planificação de atividades para melhorar as ações diagnosticadas; executar essas atividades; e avaliar os resultados obtidos. Esses intentos estão coesos com as etapas da pesquisa-ação apontadas por Dionne (op. cit.). Portanto, o enfoque metodológico desta pesquisa corresponde à pesquisa-ação.

ANÁLISE DAS SITUAÇÕES UTILIZADAS SOBRE OFs

Estima-se, neste tópico, fazer a correlação entre os 16 objetivos e os quatro significados sobre adição/subtração dos PCNs (1997) para identificar se as situações de ensino e as justificativas de escolhas apresentadas pelos Pefais estão respaldadas por esses critérios. A avaliação decorre da hipótese inerente a essa inquietação vivenciada na identificação das situações iniciais e na análise dos resultados correspondentes às fases I e IV da pesquisa-ação. Os Pefais apresentaram situações para todas as operações fundamentais, porém, devido às necessidades de limitação textual do artigo, pressupõe-se que as situações do professor D sobre as operações de multiplicação (Figura 2) e divisão (Figura 3), que são apresentadas posteriormente, servem para aludir ao percurso investigativo.

Categorização da situação de multiplicação do professor D na fase I

Fonte: ^{Bigode (2005}, p. 92)

Figura 2 Situação sobre a operação de multiplicação escolhida pelo professor D. 

A situação de multiplicação apresentada por esse professor, quanto ao significado, remete ao terceiro grupo dos PCNs (1997, p. 110): “[...] as situações associadas à configuração retangular”. No que diz respeito aos objetivos de matemática, essa situação é melhor associada ao quarto objetivo trazido para o segundo ciclo apresentado nos PCNs (op. cit, p. 80): “Resolver problemas, consolidando alguns significados das operações fundamentais e construindo novos, em situações que envolvam números naturais e, em alguns casos, racionais”.

O extrato seguinte foi obtido da transcrição da entrevista da pesquisadora com o professor D:

PESQUISADORA: E, dentre as questões de multiplicação que você conhece, por que fez opção por essa situação?

PROFESSOR D: Ela pede que o aluno [...] ele arme essas operações. E acho que isso é importante pra ele saber, também, além de saber responder, saber fazer também.

PESQUISADORA: Mas [...] o que você acha que ela traz sobre a multiplicação para o seu aluno aprender?

PROFESSOR D: Ele pode perceber [...] duas formas diferentes nesse caso aí, porque dá pra fazer 2 vezes 3 e também 3 vezes 2, que, no caso, o resultado vai dar o mesmo. E representar a quantidade lá de maneira diferente.

Essa exposição dialógica do professor D aproxima-se do objetivo 5, mas, como a situação trazida por ele está voltada para o objetivo 4, essa sua justificativa categoriza-se como RI. O significado inerente a esse diálogo associa-se implicitamente à configuração retangular (3), mas, como a situação trazida pelo professor D está voltada para a ideia de combinatória (4), também foi categorizada como RI.

No entanto, nessa mesma exposição que envolve a justificativa do professor D, ainda quanto ao significado, é importante destacar que ele não descreve nada que possa revelar o reconhecimento da existência de “[...] ambiguidade em relação à comutatividade da multiplicação. Embora, matematicamente, a x b = b x a, no contexto de situações como a que foi analisada (dos comprimidos) isso não ocorre” (PCNs, 1997, p. 109).

Categorização da situação de divisão do professor D na fase I

Fonte: ^{Bonjorno, Azenha e Gusmão (2014}, p. 92)

Figura 3 Situação sobre a operação de divisão escolhida pelo professor D. 

Essa situação selecionada pelo professor D para divisão, em termos de propósito educativo, segundo os objetivos existentes nos PCNs (1997, p. 81), aproxima-se do objetivo 5: “Ampliar procedimentos de cálculo - mental, escrito, exato, aproximado - pelo conhecimento de regularidade dos fatos fundamentais, de propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados”. No caso da construção de significados, essa situação remete à ideia de proporcionalidade (2), declarada no segundo grupo de significados nos PCNs (op. cit., p 110): “Num segundo grupo, estão as situações associadas à comparação entre razões, que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade”.

O extrato seguinte foi obtido da transcrição da entrevista da pesquisadora com o professor D:

PESQUISADORA: Em que esta situação pode contribuir para a aprendizagem dos seus alunos?

PROFESSOR D: Eu acho que eles também podem aprender a fazer outros cálculos, resolver outros probleminhas que aparecem no dia a dia deles.

Essa justificativa do professor D pode ser associada ao objetivo 6. No entanto, como a situação trazida por ele está associada ao objetivo 04, a categorização correspondente foi RI. Como não se observa nenhuma associação dessa fala do professor D com algum dos quatro significados já citados na fase II sobre a situação de multiplicação, a categorização atribuída a tal associação foi NR.

O ENSINO DE RAIZ QUADRADA POR MEIO DO USO DA HM

Esta pesquisa visa à elaboração de material de apoio potencialmente significativo para o ensino de raiz quadrada para professores e estudantes dos Aief. Esse texto de apoio apresenta duas situações: uma voltada para questões conceituais, de cunho epistemológico, explorando a noção de quadrados perfeitos em termos aritmético e geométrico; e outra para a obtenção da raiz de valores que não são quadrados perfeitos.

A proposta, inicialmente, procura despertar nos participantes o reconhecimento sobre a possibilidade de implicações favoráveis ao ensino da matemática com uso da HM. Ela possui três atividades: a primeira consiste em explorar alguns clássicos, como ^{Davis e Hersh (1985)}, ^{Boyer (2012}), Ríbinikov (1991) e ^{Cajori (2007}), para evidenciar o valor pedagógico e o reconhecimento da HM como tendência em educação matemática. A ênfase da segunda atividade recai sobre o enfoque cognitivo análogo aos propósitos trazidos por ^{Silva et al. (2017}). Uma vez levantadas as concepções prévias dos professores, procura-se, na perspectiva da TAS, explorar semelhanças e diferenças entre objetos aritméticos e geométricos sobre a noção de quadrado perfeito, visando à aprendizagem significativa de raiz quadrada.

Parte-se do estudo exploratório que foi desenvolvido por ^{Silva (2006}), Aquisição do conceito de raiz quadrada: relato de uma experiência espontânea, que visa relacionar a ideia de raiz quadrada com a noção de quadrado perfeito. Para dar conta disso, apoia-se no conhecimento que a criança investigada possui sobre a operação de multiplicação e “tabuada”, destacando, na operação de multiplicação de números inteiros, os produtos obtidos de fatores iguais:

Tenta-se fazer com que a criança compreenda que, ao dividir um número inteiro que tenha sido obtido como o resultado da multiplicação (produto) de fatores iguais por um desses fatores, a resposta será o mesmo fator, conforme apresentado. Como se observa, a proposta de ^{Silva (2006}) está mais voltada para o âmbito aritmético.

Na terceira atividade, procura-se algo que esteja mais relacionado com o enfoque geométrico. Em vez de formas pictóricas representadas por algarismos, recorre-se aos chamados números figurados³, que emergem do pressuposto de que “Todos os números, ou seres, teriam evoluído a partir do Um. Os números eram divididos em tipos associados aos diferentes tipos de coisas. Para cada tipo, havia um primeiro, ou menor número, considerado sua ‘raiz’. [...]” (^{ROQUE, 2012}, p. 105).

Assim, quando os pontos estão dispostos como figuras que constituem um quadrado, têm-se os números quadrados que, no caso deste estudo, se optou por indicar a raiz quadrada dos três quadrados perfeitos seguintes: 4, 9 e 16, devidamente representados abaixo.

Fonte: ^{Roque (2012}, p. 106)

Figura 4 Representação dos números quadrados: 2², 3² e 4². 

Ao término da terceira atividade, alude-se à potência, introduzida a partir da inter-relação entre a segunda e terceira atividades. Recorre-se aos produtos obtidos de fatores iguais na multiplicação, à noção de quadrados perfeitos e aos números figurados, explorando a forma de escrevê-los: 2 ² = 2 x 2 = 4, 3 ² = 3 x 3 = 9, 4 ² = 4 x 4 = 16. Por fim, informa-se que o expoente que, indica o número de vezes de repetição do fator nesses três casos é dois e que o resultado do produto chama-se potência.

Em seguida, recomenda-se ampliar o repertório de quadrados perfeitos e questionar: como determinar a raiz quadrada de números inteiros que não possuam quadrados perfeitos, cujos fatores sejam diferentes? Nessa situação, utiliza-se a HM e, em particular, um procedimento desenvolvido pelos babilônios, cuja finalidade era, conhecendo-se a priori a área de um retângulo, obter um quadrado de área igual.

Esse processo é obtido por meio de aproximações das medidas distintas dos lados da forma retangular inicial até se chegar à medida do lado de um quadrado que tenha área igual à do retângulo dado. Para aludir a esse procedimento, recorreu-se a ^{Barderas (2000}, p. 196-197):

O relato dessa análise sobre as operações fundamentais, além de um frágil embasamento de ordem epistemológico-pedagógica acerca da adição, multiplicação e as suas inversas, como não enfoca o registro de nenhuma situação de ensino sobre a potenciação por esses Pefais, revela que eles podem não reconhecê-la como tal e abre espaço para a realização de pesquisas interessantes. Assim, de posse do reconhecimento desses déficits e dos registros que aludem ao conhecimento prévio desses Pefais acerca das operações fundamentais como resultado da pesquisa que originou este artigo, apresenta-se em seguida o texto de apoio produzido para ser vivenciado no ensino de raiz quadrada.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A análise dos propósitos educativos recomendados como objetivos nos PCNs (1997) em relação à adição/subtração e multiplicação/divisão permitiu reconhecer que os Pefais deste estudo precisam aprofundar as suas compreensões sobre as OFs. Para justificar esse argumento, basta lembrar que somente o professor D sobressaiu-se como melhor a demonstrar os conceitos na subtração, na multiplicação e na divisão, superando o seu próprio desempenho em relação à adição e os demais docentes, tanto na adição/subtração como na multiplicação/divisão. Além disso, o melhor desempenho do professor D surpreende por não acontecer também na adição, considerada a mais elementar das operações fundamentais.

Tomando-se como base os propósitos educativos indicados nos PCNs (1997), no que tange aos significados a serem vivenciados na adição/subtração e na multiplicação/divisão, considera-se que, apesar de as situações trazidas pelos Pefais possibilitarem associação com esses significados, não há, nos argumentos por eles apresentados, alusão a esses significados. A ausência de associações nas justificativas dos professores, nas suas tentativas de esclarecer a importância do uso das situações que utilizam nas suas aulas sobre OFs, deixa claro que, nesse contexto, eles não exploram os já referidos significados.

Os conhecimentos prévios dos Pefais revelaram ausência da potenciação/radiciação como OFs nas situações selecionadas, bem como nas justificativas esboçadas na tentativa de explicitar a importância do uso dessas situações em suas práticas. Esse comentário, aliado ao fato posto na introdução, a partir das publicações sobre os Aief, nas revistas Bolema, Zetetiké e Dynamis, evidencia a necessidade de pesquisas sobre OFs, inclusive para suprir essa ausência.

As alegações neste artigo têm o propósito de produzir um material educativo para o ensino de raiz quadrada nos Aief que esteja embasado na HM e na TAS, com intuito de que possa ser qualificado como um material potencialmente significativo do ponto de vista ausubeliano. A síntese de uma visão panorâmica acerca do material foi caracterizada no tópico “O ensino de raiz quadrada por meio do uso da HM”, porém, a avaliação de tal potencialidade será tratada em outro artigo, analisando se nos mapas conceituais produzidos por esses Pefais há indícios de mudanças nas suas práticas sobre o ensino de raiz quadrada.

De modo abrangente, emergiu uma inquietação no mínimo interessante: trata-se do fato de que, ao serem indagados sobre o que fundamenta a organização das suas práticas, os Pefais se reportaram aos PCNs, à Base Curricular Comum do estado do Piauí e aos livros didáticos. No entanto, depois de mais de vinte anos da implementação dos PCNs, aqueles com uma média de 12 anos de magistério, conforme os resultados apresentados, revelam fragilidade sobre tal utilização nas suas práticas. Diante disso, torna-se oportuno questionar se a implementação da Base Nacional Comum Curricular oportuniza aos professores do ensino básico condições melhores que os PCNs para favorecer o desempenho organizacional das suas práticas docentes.

Vale apenas registrar que o propósito didático que envolve a abordagem educativa matemática do material leva em consideração a perspectiva do saber apontado por ^{Chevallard (1991}), as noções matemáticas, paramatemáticas e protomatemáticas. Além disso, impulsionado pelo desejo de compartilhar os pressupostos desse propósito didático sobre o ensino de potenciação, em particular a raiz quadrada, como conteúdo curricular a ser implementado nos Aief, recorreu-se ao mapa conceitual elaborado para esse fim, apresentado a seguir.

Fonte: elaborado pelo autor 2.

r9r9 5 Mapa Conceitual sobre a Operação de Potenciação.