Participantes

En este estudio participaron 22 profesores chilenos de educación primaria. La formación de los profesores participantes es mayoritariamente generalista con especialización en matemáticas (9), generalistas sin especialización (6), generalistas con una especialización distinta a la matemática (7), y uno de ellos era profesor de secundaria. Todos ellos se encontraban trabajando en cursos de educación primaria durante el curso académico 2018 en el sur de Chile. Su experiencia fluctúa entre 1 y 30 años, con un promedio de 11 años aproximadamente. Los docentes fueron informados de los objetivos de estudio al momento de solicitar su ayuda y de forma escrita cuando contestaron el cuestionario.

Contexto

Los profesores de este estudio fueron participantes voluntarios de un taller de 2 horas de duración sobre estrategias para seleccionar problemas. El objetivo de este taller fue suministrar estrategias docentes para la selección y análisis de tareas que permitan a los estudiantes dar sentido a las ideas matemáticas mediante la participación activa en la resolución de una variedad de problemas matemáticos. El taller se organizó en tres momentos: (a) discusión grupal sobre ideas iniciales alusivas a los problemas, la RP y el uso de tareas problemáticas en educación primaria (en donde se realizó la recogida de datos); (b) síntesis teórica de los principales aportes provenientes de la investigación sobre la enseñanza de la RP y específicamente características de buenos problemas; (c) analizar en pequeños grupos tareas propuestas por textos escolares y su grado de adecuación con aquellas que promuevan el desarrollo de las ideas matemáticas de sus estudiantes. Los monitores de este taller fueron los autores de este trabajo.

Datos y procedimiento de análisis

Los datos analizados corresponden a las respuestas escritas a un cuestionario aplicado en el taller como actividad inicial. Hemos construido y aplicado un cuestionario con 6 preguntas abiertas y responden a aspectos relativos a las características de un buen problema y las prácticas pedagógicas que se realizan con estos. Estas preguntas tienen un doble propósito, por una parte servirán para identificar concepciones de los profesores sobre los problemas, y por otro identificar las concepciones e ideas subyacentes en la selección que realizan sobre estos. Consideramos que el uso de estas preguntas abiertas, “permiten a los encuestados dar respuestas con sus propias palabras” (^{FINK, 2003}, p. 35). La tabla 1 muestra las preguntas planteadas en un cuestionario escrito, junto con el propósito que persigue cada una.

El análisis de las respuestas se realizó en cuatro etapas. Todas ellas tienen como base el análisis de contenido (^{RICO; FERNÁNDEZ-CANO, 2013}). Cada autor realizó el proceso en forma separada y posteriormente, en forma conjunta se discutieron las discrepancias hasta llegar a un acuerdo.

Primero, realizamos un análisis por pregunta, en búsqueda de patrones de respuestas que nos permitieran caracterizar de forma general las concepciones de los profesores. El primer paso fue establecer mediante un proceso deductivo categorías de análisis generales. Para identificar en qué componente interviniente de la resolución de problemas escolares se basaban las concepciones de los profesores, recurrimos como categorías a los elementos que intervienen en el estudio de la resolución de problemas: “el problema, interrogante o cuestión que se plantea, el alumno (o los alumnos) a quien se plantea el problema para que lo resuelva, y la situación en que resuelve el problema, que en el ámbito educativo es el aula, manejada por el profesor” (^{CASTRO, 2008}, p. 3). Una vez realizado dicho análisis se realizó un proceso inverso, es decir, inductivo dentro de cada categoría general. Las preguntas 2b y 4 recibieron un análisis distinto. Para analizar los aspectos matemáticos a los que los profesores hacían referencia, hemos utilizado el análisis didáctico entendido desde la perspectiva de ^{Rico, Lupiañez y Molina (2013)}. Específicamente, recurrimos al análisis de contenido que utiliza la triada estructura conceptual, sistemas de representación y contextos y modos de uso. Entendemos que estos elementos nos informaran de los aspectos matemáticos a los que los profesores hacen alusión en sus respuestas. Finalmente, para la pregunta cuatro, realizamos un análisis de frecuencias para reportar los recursos más utilizados.

Posteriormente, realizamos un análisis por sujeto. Las respuestas de un docente a todo el cuestionario se analizaron buscando indicios que mostraran a qué concepción o concepciones de problemas (^{CHAPMAN, 2009}) podía ser asociado. Luego, se buscaron pares de respuestas o ideas en las que se evidenciaran algunas de las tensiones reportadas por la literatura (^{BERRY, 2007}; ^{ROULEAU; LILJEDAHL, 2017}). Finalmente, se analizó la relación entre las concepciones sobre la selección de problemas y las tensiones presentes en las respuestas.

Concepciones sobre la selección de problemas

En este apartado se muestran los resultados desde las dos perspectivas que se abordan en este estudio. Primero un análisis a las respuestas en general, sin tener en cuenta desde quién las realiza y un segundo análisis por sujeto.

Análisis por pregunta: Desde el punto de vista de los elementos intervinientes en el estudio de la resolución de problemas, este grupo de profesores otorga una importancia sustantiva al contexto cercano que posea el problema y que se conecte con el currículo, ambas relativas a la tarea. La tabla 2 resume los temas emergentes en cada una de las preguntas del cuestionario (menos preguntas 2b y 4), organizadas según componente interviniente.

Como se ha indicado, las preguntas 2b y 4 recibieron otro análisis debido a su contenido. Sobre la pregunta 4, en la tabla 3 resumimos los elementos a los que los profesores hacen alusión en sus respuestas. El más recurrente es la aplicación de contenidos, seguido muy de lejos por distintas representaciones, contexto real y cercano e integración de ejes de contenido.

Finalmente, sobre las fuentes de tareas que utilizan como problemas, encontramos que las dos fuentes más utilizadas son las páginas web y el texto del estudiante (en uso o de otras ediciones/editoriales).

Este análisis otorga un panorama sobre qué elementos intervienen en las concepciones de los profesores cuando piensan en seleccionar problemas. Por ejemplo, existe una tendencia a utilizar como criterios elementos referidos a la tarea. Dentro de estos, es posible identificar la preocupación de los profesores por el contexto y su ajuste al currículo. Asimismo, es posible ver también algunas ideas que se contraponen, por ejemplo, cuando señalan como criterio que sean tareas desafiantes, versus tareas simples y que puedan resolver sin problemas.

Análisis por sujeto: Los profesores participantes, en el sentido de ^{Chapman (2009)}, muestran concepciones objetivista, utilitaristas y humanísticas sobre los problemas.

Objetivista, en el sentido que mantienen concepciones sobre los problemas independiente de los estudiantes, pues los problemas son cálculos con palabras. Ejemplos de esto se encuentran en al menos 10 sujetos; ellos señalan que los problemas que seleccionan son “Problemas que tengan las operaciones que se están trabajando”, en dónde “se comprenden con facilidad” y el “vocabulario [es] claro para que los alumnos, de modo que entiendan y comprendan de manera más fácil los contenidos”. Además señalan que en las tareas “el tipo de operaciones concuerden con las trabajadas en el nivel”. Estas respuestas sugieren que los profesores piensan que los problemas deben ser transparentes, con un lenguaje claro, además de sugerir los conceptos que permiten llegar a la solución.

Utilitarista, debido que en sus concepciones los problemas son herramientas que contribuyen a los aprendizajes. Los problemas son medios para el fin de lograr un aprendizaje de los contenidos, objetivos de aprendizajes (OA) o habilidades solicitadas por el currículo. Al menos 20 de los profesores manifiestan que uno de los criterios de selección tiene relación con “el contenido que se esté aprendiendo”, o con “el tipo de operación que se desea realizar y el OA”. Incluso, algunos profesores mantienen como criterio que se puedan usar tareas similares a las de pruebas estandarizadas, expresando “que tengan complejidad similar a las pruebas estandarizadas”.

Finalmente, mantienen una visión humanista debido principalmente al papel que el contexto juega en su concepción de problema. Para los 18 profesores que presentan esta concepción, el contexto del problema debe ser cercano al estudiante para que lo motive y acerque el aprendizaje a su realidad. Por ejemplo, los profesores manifiestan que los problemas deben considerar “historias de vida o situaciones ocurridas en el grupo curso” o “las realidades propias de los niños, ya sean según las labores que desempeñan sus padres o en situaciones que les sean más familiares y significativas”. Además, hemos identificado a dos docentes que manifiestan una concepción humanista en el sentido que la cualidad de problema está relacionada con el estudiante. Es decir, para que este sea un problema, el estudiante no debe conocer el camino de solución. Por ejemplo, estos docentes señalan que el estudiante debe pensar en una estrategia de resolución o que el problema no sea de solución rápida, sino que lleve a pensar al estudiante, que no requiera de un desarrollo mecánico.

Así, estos resultados sugieren que la concepción instrumentalizada de los problemas, en la que el contexto y los problemas aritméticos tienen prioridad, deja fuera de las salas a las tareas realmente problemáticas, dónde no existe un camino directo a la solución (^{LESTER; CAI, 2016}). En este sentido, nuestros resultados otorgan una posible explicación a por qué los profesores reportan un alto uso de la resolución de problemas en las salas de clases (^{GIACONNI; FELMER; PERI; ESPINOZA, 2015}), pero al realizar observaciones dentro de las clases por agentes externos, esta se muestra ausente (^{FELMER; PERDOMO-DÍAZ; CISTERNAS; CEA; RANDOLPH; MEDEL, 2015}).

Tensiones en la selección de problemas

En el análisis sobre las tensiones presentes en sus respuestas, fueron evidentes dos pares de tensiones que se ajustan al marco teórico utilizado. Hemos detectado las tensiones Decir/Crecer y Seguridad/Desafío.

Respecto a la tensión entre decir/crecer a los estudiantes y proveer instancias para crecer, los profesores manifestaron en sus respuestas, por una parte, ideas relativas sobre la RP dónde se evidencia un entendimiento de esta como un acto de pensamiento o en las que se debe razonar o existe un criticismo en dicha acción. Los docentes expresaron que los problemas que seleccionan deben ser desafiantes y hacerlos plantearse estrategias de solución. Al mismo tiempo, sus respuestas hacen presente ideas relativas a claridad de los problemas o que esté toda la información presente. Esta tensión fue detectada en 4 profesores que expresaron, por ejemplo: “Que no sea de solución rápida, sino que haga pensar al estudiante, que no requiera un desarrollo mecánico y además que implique un desarrollo con varios contenidos matemáticos” versus “Que esté bien redactado, que tenga toda la información necesaria para responder a lo que se pregunta y que esté relacionado al objetivo que se vea en clases”. Otro profesor señala que los problemas que selecciona tienen como característica “Que no sea de solución rápida, sino que haga pensar al estudiante, que no requiera un desarrollo mecánico y además que implique un desarrollo con varios contenidos matemáticos” versus “Que esté bien redactado, que tenga toda la información necesaria para responder a lo que se pregunta”. Un tercer sujeto señala que los problemas seleccionados “les permita desarrollar la imaginación, que pueda tener más de una respuesta o más de una estrategia para resolver” versus “si comprendió las situaciones. Elige bien la información dada. Es capaz de utilizar la información de manera correcta, dejando su desarrollo. Responde a la interrogante con frase”.

La segunda tensión detectada tiene relación con mantener la seguridad de un ambiente de aprendizaje, es decir, un ambiente que sea cómodo y familiar para el estudiante. Esta idea se confronta con un aprendizaje en el que las experiencias son desconocidas, alejándolos de la seguridad de lo familiar, hacia nuevas posibilidades de crecimiento. Hemos detectado esta tensión en 12 de los 22 profesores participantes al taller. En sus respuestas es posible identificar, por una parte, la idea de desafío, que sean tareas complejas dónde el estudiante debe poner en juego más que un procedimiento o dónde se debe construir el procedimiento de solución. Sin embargo, al mismo tiempo se evidencian ideas relativas a tareas procedimentales, que tengan un lenguaje claro y en las que se debe aplicar un algoritmo. Por ejemplo, un profesor señala que los problemas que selecciona tienen como característica “Que se realice un procedimiento ya sea mental o escrito para el pensamiento lógico matemático”, versus que “Sea un desafío llamativo”. También es posible encontrar respuestas como “que en el problema la complejidad esté de acuerdo al nivel de los estudiantes”; “El lenguaje utilizado sea cercano a los estudiantes”; “La situación problema sea familiar a los estudiantes, y al mismo tiempo que la situación sea atrayente y motivante”; “Que el problema invite a buscar nuevas estrategias para ser resuelto”. Otro profesor señala que el problema que selecciona “Debe requerir un razonamiento”, versus que “Debe tener relación con lo que los niños conocen”; “Debe estar en un vocabulario apropiado a su edad”.

Además de estas tensiones, hemos detectado otro par que no se relacionan directamente con el marco de ^{Berry (2007)}. Una primera discrepancia tiene relación con la importancia y objetivo que los docentes sostienen sobre las matemáticas en general, es decir, su relación con la vida cotidiana y la concepción sobre problema que sostienen, una concepción procedimental en donde se relaciona a los problemas con problemas aritméticos verbales. Si bien las situaciones aritméticas son una relación directa con la vida de los estudiantes, una visión de los problemas solo desde esa perspectiva limita los campos de acción que presentan los conceptos matemáticos, especialmente en educación primaria. Ejemplos de esta tensión se encontraron en 7 profesores asistentes al taller. En sus respuestas encontramos, por una parte, que una característica de los problemas que seleccionan son problemas cotidianos, relacionados a su actividad diaria, y al mismo tiempo tienen como criterio para evaluarlo como un buen problema “cuando lo llevan a la realidad”. Por ejemplo: “realizar compras para saber cuánto gastar, vuelto, etc.”; “Cuando logran realizar reparticiones equitativas”. Otro profesor señala que un criterio de selección son “las realidades propias de los niños, ya sean según las labores que desempeñan sus padres o en situaciones que les sean más familiares y significativas” versus “Buscar datos y la operación con que se debe resolver”. Finalmente, “buscar el resultado correcto acorde con la pregunta del problema”.

La segunda tensión que no se relaciona directamente con ninguna de las expresadas por ^{Berry (2007)} se corresponde con una discrepancia entre idea cercana a pensamiento o razonamiento que sostienen de la RP y de los problemas como motor de ello, y por otro lado, las exigencias del currículo. Diversas investigaciones han señalado lo procedimentalizada que se encuentra la RP en el currículo y sus documentos de diseminación (^{OLIVARES, 2018}). Incluso se ha señalado que la RP en el currículo chileno promueve un enfoque de aplicación de la RP (^{PIÑEIRO; CASTRO-RODRÍGUEZ; CASTRO, 2016}), interpretación que apoyaría las concepciones que sostienen estos profesores. Entre los 8 docentes que presentaron esta tensión hay respuestas del tipo: “Que [el problema] sea acorde al nivel educativo al que lo quiero aplicar”; “Que sea productivo y de insumo para el propicio logro de aprendizajes”, versus “Que presente un desafío para los alumnos”. Otro ejemplo es dado por un docente al señalar que una característica de los problemas que selecciona es “Que tengan complejidad, similar a las pruebas estandarizadas”, en confrontación con “Que no sea de solución rápida, sino que haga pensar al estudiante, que no requiera un desarrollo mecánico”.

Tensiones y concepciones

En el análisis realizado a las concepciones sobre la selección de problemas es posible observar que estas no son excluyentes y se superponen en el entendimiento que manifiestan los profesores sobre los problemas. De las tres concepciones presentes en este grupo, solo en dos de los docentes es posible identificar solo una de ellas. En el resto, conviven al menos dos de las miradas en sus ideas sobre la selección de problemas. Este tipo de inconsistencia ya ha emergido en otras investigaciones. Algo similar sucede con las tensiones expresadas, pero solo en la mitad de los casos analizados. La tabla 4 muestra una panorámica a las concepciones y tensiones presentes en las respuestas de los docentes cuando se les pregunta por la selección de problemas.

En este sentido, los resultados parecieran sugerir que las distintas perspectivas en las concepciones de problemas promuevan ciertas tensiones en la selección de los problemas. En este caso se promueven tensiones pedagógicas relativas a cómo se orquesta la clase (decir/crecer; seguridad/desafío), tensiones en la relación del profesor con el sistema escolar (las referidas al currículo) y tensiones entre el propio profesor y la resolución de problemas (vida diaria y problemas aritméticos).