Introducción

En la última década los estudios en Educación Matemática cuestionan la práctica docente, algunos autores han considerado la práctica docente en la formación inicial para favorecer la vinculación de diversos tipos de conocimiento (^{Ball, Hill & Bass, 2005}); muestra de ello, son las recientes investigaciones que tratan el desarrollo del conocimiento y la reflexión sobre la práctica (^{Kieran, Krainer & Shaughnessy, 2013}). En la formación de profesores de matemáticas, la reflexión ha sido objeto de diversos estudios que centran interés en la articulación de la teoría durante la práctica docente (^{Jaworski, 2006}). En este campo de investigación, diversos investigadores se han dedicado a promover y estudiar la reflexión en la práctica docente, tratando con ello, que los futuros profesores usen su conocimiento (^{Alsina, 2010}; ^{Peñas & Flores, 2005}). En el caso colombiano, las directrices ministeriales en la última década, apuestan por favorecer la actitud reflexiva, crítica y creatividad en la formación inicial de profesores (^{MEN, 2010}).

En este contexto y atendiendo la oportunidad que brindan las prácticas de enseñanza en la formación inicial, consideramos relevante promover procesos de reflexión. Se conjetura que el futuro profesor a través de los procesos reflexivos otorga sentido a su conocimiento profesional para llevar a cabo acciones fundamentadas en su práctica.

La investigación basada en el paradigma de la investigación de diseño (^{Confrey, 2006}); configura un experimento de enseñanza para el desarrollo empírico del estudio. El diseño general del proceso formativo define los presupuestos investigadores y objetivos de cuatro módulos formativos que constituyen todo el experimento de enseñanza (^{Castellanos, Flores & Moreno, 2018}), aquí nos centramos en el segundo módulo formativo.

Con el propósito de responder al interrogante ¿Cómo futuros profesores de matemáticas otorgan sentido a su conocimiento cuando reflexionan sobre él durante sus prácticas de enseñanza? se exhibe en apartados siguientes el diseño del experimento, se continúa con la descripción de elementos analizados durante la experimentación explicando la actuación de los participantes y se concluye exponiendo los aciertos y limitaciones en el desarrollo de la intervención formativa y los rasgos que dan cuenta de las dimensiones del estudio -reflexión y conocimiento profesional.

Investigación de Diseño en el campo de la Educación

Investigación de Diseño (Research Based Design o DBR) tienen reconocimiento en el campo de la educación por su potencial para comprender los fenómenos del aprendizaje y la enseñanza. El paradigma se caracteriza en primera instancia, por permitir comprender la realidad educativa a través de la consideración de contextos naturales y de su complejidad (^{Confrey, 2006}). Este paradigma permite comprender el cómo y por qué funciona el diseño formativo y realizar adaptaciones a tareas formativas que contribuyen a los procesos de reflexión de los participantes. Los estudios de diseño más frecuentes de la DBR, son los experimentos de enseñanza.

La Investigación de Diseño trata de los estudios de campo (o de diseños), los cuales tienen las siguientes características: a) hay interdependencia entre instrucción e investigación; b) el análisis y explicación de las intervenciones están fundadas en el conocimiento disciplinario y en una teoría del aprendizaje; c) la configuración de la investigación y el desarrollo del diseño se establece en un ciclo continuo. Esta configuración implica dos niveles de análisis, el primero preliminar, con los datos colectados en la intervención (análisis preliminar durante el desarrollo), y el final, el análisis retrospectivo, con toda la información recolectada.

Los Experimentos de Enseñanza son estudios de naturaleza cualitativa y basados en un diseño instruccional, están orientados hacia la práctica con interés en comprender secuencias particulares de enseñanza. En este estudio se creó un experimento de enseñanza de tipo “uno a uno”, donde el equipo de investigación conduce una trayectoria de enseñanza con el grupo de practicantes para promover la reflexión, se recrea el escenario de la práctica tratando que los practicantes se relacionen con su conocimiento profesional. Los experimento enseñanza basados en el paradigma de la investigación de diseño sigue las etapas de: preparación, experimentación y análisis preliminar, y la ejecución del análisis retrospectivo de datos. En la segunda etapa se desarrollan sucesivas iteraciones de instrucción con tres pasos: planeación del proceso instructivo, implementación de la instrucción y la revisión y análisis de lo acontecido, antes de planificar el módulo formativo siguiente.

Reflexión y formación del profesor de matemáticas

La postura cognitiva, la cual aborda la reflexión como un proceso y un fin, se identifica en postulados de varios autores, rasgos comunes que permiten caracterizar el concepto de reflexión (Dewey, 1989; Schön, 1992; Perrenoud, 2004; Zeichner, 1993), citados en Castellanos (2017). De los cuales confluyen puntos de interés y constructos asociados: a) La problematización de los hechos de la propia realidad; b) El distanciamiento de la realidad; c) La toma de conciencia de los propios y nuevos conceptos y d) Las decisiones para la nueva actuación.

En este estudio entendemos al profesor de matemáticas como un profesional práctico reflexivo (^{Flores, 2007}; ^{Liston & Zeichner, 2003}), un profesor que tiene disposición para percibir la práctica como problemática, identificar situaciones en su actuación docente, se distancia de ellas para explicitar y eliminar elementos que le condicionan, y se abre a otras fuentes para interpretar y responder a las mismas.

Desde esta perspectiva, consideramos que la reflexión surge de una situación problemática para analizar la práctica docente, con el propósito de significar el conocimiento y de comprenderla; lo cual implica un proceso activo y responsable. Apostamos que la reflexión del profesor de matemáticas sobre su práctica es elemento fundamental en el desarrollo profesional y medio para la comprensión de la práctica (^{Climent & Carrillo, 2003}).

El experimento de enseñanza fue basado en el aprendizaje reflexivo; los principios de este enfoque, apuestan de manera implícita a la reconstrucción del conocimiento profesional del profesor; se fundamenta en la teoría sociocultural del aprendizaje humano, en la idea del profesional reflexivo y en el enfoque realista del aprendizaje.

Uno de los principios de este enfoque, le apuestan a la interacción entre teoría y práctica a partir de los procesos reflexivos que siguen el ciclo ALaCT (^{Korthagen, 2001}) con cinco fases: 1. Acción o experiencia (A); 2. Mirar hacia atrás en la acción (L); 3. Conocimiento de puntos importantes o esenciales (a); 4. Crear, buscar y preparar alternativas para acción (C); 5. Comprobar en nueva situación (T) iniciar un nuevo ciclo.

Diseño metodológico

La investigación tiene enfoque cualitativo usa la metodología de tipo descriptivo interpretativo (^{Hernández, Fernández & Baptista, 2010}), la toma de datos se logra en el experimento y procede de las producciones de participantes (tareas formativas) y de los registros del colectivo de práctica docente, la descripción sistemática del experimento consiste en el análisis secuencial a la trayectoria de instrucción implementada en cada módulo formativo a la luz de los objetivos, las conjeturas y el modelo del experimento. Se ocupa el análisis de contenido para examinar información recolectada durante la experimentación y generar interpretaciones.

En el estudio participaron 12 futuros profesores de matemáticas (FPM o practicantes) que cursaban la asignatura de práctica docente (o practica de enseñanza) y simultáneamente desarrollaban su trabajo de grado (en adelante proyecto PPD) en el contexto de la Licenciatura en matemáticas y Física de la Universidad de los Llanos - Colombia. Los practicantes fueron distribuidos en seis grupos, uno por cada Institución Educativa de Práctica Docente (IEP) con escolares entre 13 y 15 años de edad, los practicantes llevaron a cabo la enseñanza de un contenido de matemáticas (álgebra) durante un semestre académico del año 2014. La práctica de enseñanza de este caso, fue apoyado por el colectivo de práctica, integrado por el coordinador de Práctica, la investigadora-docente, y los tutores

El análisis secuencial de la intervención, se realiza durante la experimentación y consiste en agrupar la información por cada módulo formativo y revisar lo que ocurrió a largo de la secuencia de instrucción en dos ámbitos: a) el funcionamiento del diseño instructivo para ir ajustándolo y b) los rasgos que caracterizan la evolución en las dimensiones de la investigación para ir describiendo y registrando marcos interpretativos en relación con estas: conocimiento profesional y reflexión.

Resultados

El experimento se creó con el objetivo del promover procesos de reflexión sobre las situaciones profesionales, tratando que los practicantes se inicien en su desarrollo profesional. Siguiendo este presupuesto se eligió para diseñar la intervención formativa el ciclo de reflexión sistemática ALaCT de (^{Korthagen, 2001}).

El primer resultado de la investigación, se corresponde con la etapa de preparación del experimento; en la cual se requirió: enmarcar el modelo teórico que concibe el experimento, definir objetivos y conjeturas; evaluar el conocimiento previo de los participantes; diseñar tareas y focos para promover ciclos reflexivos; seleccionar contenidos formativos, concretar la secuencia de intervención, definir criterios de análisis y revisión a la instrucción y evaluar el diseño instruccional a experimentar.

El diseño instruccional cubrió 33 sesiones con cuatro módulos formativos, dos simposios y un ciclo reflexivo por módulo. La tabla 1 detalla la trayectoria de instrucción.

El diseño instruccional se orienta con cuatro ciclos reflexivos siguiendo el modelo ALaCT (^{Korthagen, 2001}), cada ciclo con focos reflexivos propios, las tareas formativas conducen las cinco fases de cada ciclo a través de las acciones de describir, examinar, analizar, evaluar y buscar alternativas a la situación y probar, la indagación con preguntas abiertas direccionan los focos reflexivos por ciclo. La Tabla 2 describe acciones formativas y cuestiones por cada fases del ciclo reflexivo ALaCT (^{Korthagen, 2001}).

El diseño instruccional interconecta los módulos formativos (formativos) con los ciclos reflexivos. Los módulos formativos involucran los contenidos y los ciclos reflexivos involucran situaciones de enseñanza-aprendizaje. Dichas situaciones permiten a los futuros profesores tomar consciencia de cómo interpreta las situaciones de enseñanza-aprendizaje, observando de manera estructurada lo relevante y permitiendo la relación con el conocimiento de los significados matemáticos.

El segundo resultado de la investigación se corresponde con la experimentación; es decir con la intervención formativa y análisis preliminar y concuerda con la segunda etapa del experimento implementa la trayectoria de instrucción y ocurren sucesivas iteraciones en tres pasos: planeación del proceso instructivo por modulo; implementación de la instrucción y la revisión y análisis la instrucción del módulo. Aquí solo mostraremos detalles de la implementación del módulo dos. La Tabla 3, describe los tres pasos en detalle. Este módulo se dedicó a profundizar en las limitaciones del aprendizaje del álgebra para concretar la situación problema identificada en el ciclo reflexivo C1.

El tercer resultado de la investigación se corresponde con el análisis retrospectivo de datos. La exposición del análisis retrospectivo se realiza de acuerdo con los rasgos que caracterizan las dimensiones del estudio: se presentan ejemplos y evidencias de tipo descriptivo. Procede finalizada la segunda etapa del experimento y agrupando los resultados de todos los módulos, el procesamiento da prioridad a las interpretaciones origen de marcos explicativos relacionados con la producción y actuación de los participantes según las dimensiones de la investigación. Siguiendo el ejemplo anterior resumimos elementos del análisis retrospectivo procedente del módulo dos.

Los rasgos que caracterizan el conocimiento profesional: Las evidencias se notaron en el ámbito del didáctico: revelaron que la mayoría de practicantes utilizan de manera similar el concepto "competencia" con los términos: objetivos, expectativas de aprendizaje, logro, desempeños y capacidades. Un número amplio de practicantes aplicaron y concretizaron los elementos del análisis cognitivo, una minoría presenta dificultades al definir expectativas y capacidades de aprendizaje para la planeación de su clase. La conciencia conceptual sobre el origen de los errores y las dificultades del aprendizaje algebraico, se favoreció en las fases L y a, del ciclo reflexivo C2 a través de la consulta de referentes y la confrontación teórica con expertos. La construcción colectiva de significados (en la fase a) permitió a la mayoría de practicantes reconocer y ampliar otros conceptos propios de la actividad algebraica, ellos logran emplear definiciones entorno a simbolizar, razonar, generalizar y modelar en álgebra, algunos practicantes continúan usando los conceptos convertir y calcular

Los rasgos que caracterizan la reflexión: En el ciclo reflexivo C2 se manifestaron en primer momento, con las situaciones problemáticas identificadas entorno a la procedencia de las dificultades del aprendizaje algebraico, los focos de reflexión fueron concretados por los practicantes en dos ámbitos: debido a la complejidad o particularidad de los objetos algebraicos y en relación con los procesos de enseñanza. En segunda instancia, la confrontación y la indagación propiciaron la conciencia conceptual acerca del origen de los errores del aprendizaje del álgebra (fases L y a) nótese en la figura 1. La actitud reflexiva se evidenció por el interés del practicante para interpretar las situaciones y la responsabilidad se notó en la consulta e interpretación de nuevos referentes conceptuales.

FUENTE: ^{Castellanos (2017)}.

FIGURA 1 RASGOS QUE EVIDENCIAN DIMENSIONES DEL ESTUDIO EN LA EXPERIMENTACIÓN DE C2 

Discusión de resultados

El análisis secuencial llevado a cabo durante el experimento permite evidenciar el desarrollo y aplicación que los practicantes hacen de su conocimiento didáctico; en relación con el contenido específico del análisis didáctico, las acciones de analizar y confrontar desarrolladas entre pares y colectivo de práctica favorecen la construcción colectiva de conceptos entorno a la componente del análisis cognitivo. Ambas acciones promovidas a través del ciclo de reflexión (C2) podrían representar uno de los ámbitos de mayor influencia para el desarrollo del conocimiento profesional del practicante, la toma conciencia de su conocimiento implica otorgar sentido a su práctica.

Aproximaciones cualitativas realizadas en otros estudios han mostrado evidencia de una mejor conciencia en relación con los conocimientos didácticos en la medida que los practicantes logran distanciarse de sus concepciones iníciales y dan apertura a nuevas interpretaciones (^{Flores, 2007}); otros estudios en misma la línea de formación de profesores de matemáticas demuestran que la interacción (practicantes y colectivo) puede provocar concienciación durante el aprendizaje reflexivo y promover la co-construcción de nuevos conocimientos (^{Alsina, 2010}).

Es pertinente para la práctica de enseñanza en la formación inicial, la implementación de procesos formativos basados en el ciclo reflexivo ALaCT (^{Korthagen, 2001}), el ciclo se centra en una situación problemática detectada por el profesor, focaliza el proceso de reflexión a la concienciación de los conocimientos del futuro profesor, a sus acciones y a sus fundamentos para la práctica. Cabe destacar la importancia que cobra para la formación inicial de profesores de matemáticas considerar el escenario de la práctica docente para favorecer la vinculación de los tipos de conocimiento (matemático y didáctico), situación que ha sido presentada en varios estudios (^{Ball, Hill & Bass, 2005}).

Abordar las prácticas de enseñanza en la formación inicial como un experimento de enseñanza promoviendo ciclos de reflexión permite explicar las formas de actuar reflexivas de los practicantes y las situaciones y conocimientos puestos en juego durante la instrucción. Es relevante la configuración de la práctica docente en la formación inicial basada en la investigación de diseño, este paradigma permite ajustar en contexto real el diseño de la instrucción y conducir los propósitos formativos en el desarrollo del conocimiento profesional. Otros estudios previos que han utilizado este enfoque, manifiestan aciertos en la creación de un experimento de enseñanza para advertir y explicar el modelo en el desarrollo y el aprendizaje de estudiantes entorno a un contenido específico (^{Castellanos, Flores & Moreno, 2018}). Se estima conveniente para caracterizar la reflexión de futuros profesores durante un proceso formativo, realizar revisión secuencial a las fases del ciclo reflexivo, para ir ajustando las acciones promovidas, esto permite explicar el avance y limitaciones en el proceso de los practicantes.

Conclusiones

En este artículo se ha expuesto un experimento de enseñanza usando el modelo realista para la formación inicial de profesores y que busca la interacción entre teoría y práctica (^{Korthagen, 2001}) en particular, centramos atención en el principio de este enfoque que procura por “la reflexión sistemática” siguiendo el ciclo reflexivo ALaCT.

Se concluye que el proceso de reflexión llevado a cabo en el experimento conduce de manera consciente al practicante en el desarrollo de su conocimiento profesional, permitiéndole otorgar sentido a este conocimiento desde la complejidad de práctica docente. Para ir esculpiendo el perfil del futuro profesor de matemáticas acorde a los retos actuales, el experimento siguió de manera acertada los presupuestos que entienden al profesor como profesional práctico reflexivo (^{Flores, 2007}; ^{Liston & Zeichner, 2003}).

El análisis retrospectivo realizado al caso que tratamos en este artículo (módulo dos), destaca que los futuros profesores durante la aplicación de la componente del análisis cognitivo, centran el diseño de las expectativas de aprendizaje de sus escolares en elementos, tales como la confianza personal, la capacidad de hacer conexiones y el cumplimiento de competencias matemáticas relacionadas con la actividad algebraica para responder a las preguntas de los estudiantes. Es necesario manifestar que este avance se notó en practicantes, posterior a varios intentos por definir las expectativas de aprendizaje y en aporte del proceso de reflexión orientado paralelamente durante el módulo formativo.

El propósito del proceso reflexivo conduce a significar o re-construir el conocimiento y a fundamentar la práctica docente; lo cual implica un proceso activo, persistente y responsable del practicante. Concluimos que la reflexión durante la práctica de enseñanza de las matemáticas se constituye en un elemento fundamental para el desarrollo profesional, en palabras de ^{Climent y Carrillo, (2003)} es un medio para la progresiva comprensión de la práctica.