Introdução

A matemática é tradicionalmente apresentada como perfeita e, portanto, sem erros. Embora esta seja a visão da matemática como produto final, a matemática como ciência não resultou só de acertos, mas também de erros (^{BORASI, 1994}). A sua evolução permanente continua sendo desta forma, com a presença de erros cuja identificação é uma oportunidade para refazer raciocínios. Esses erros na atividade de um matemático não devem ser olhados como um fracasso na construção do conhecimento.

Do mesmo modo, os erros na aprendizagem da matemática devem ser vistos como parte integrante e oportunidade de (auto)regulação (^{GUIMARÃES, 2016}), em que são corrigidos aspectos do processo que não são acertos. Como explicam ^{Borasi (1994)}, Lannin, Barker e Townsend (2007), ^{Pinto (1998)} e ^{Rico (1998)}, trata-se de ver o erro no sentido construtivista, que “pelo processo regulador […] pode ser fonte de tomada de consciência, levando o sujeito a modificar seus esquemas” (^{PINTO, 1998}, p. 31).

A referida visão do erro deve ser a mesma para o aluno, pois a matemática exige que ele desenvolva uma aprendizagem autorregulada, dentro e fora da sala de aula, e persista mesmo quando comete erros (^{GUIMARÃES, 2016}). Estes devem levar o professor a repensar sua prática letiva para promover a autorregulação do aluno, constructo que tem sido associado ao sucesso acadêmico (^{GUIMARÃES, 2016}). Contudo, em Portugal, são escassas investigações feitas com alunos do ensino superior no âmbito do erro em matemática.

Este trabalho pretende analisar produções de alunos do ensino superior português para uma proposição com valor lógico verdade, relativa a um caso particular da identidade do paralelogramo. Por meio das representações, busca-se aceder ao raciocínio matemático do aluno nessas produções. Objetiva-se, assim, classificar seus esquemas de demonstração, identificar os erros cometidos, designadamente na compreensão do conceito de número complexo, e relacioná-los com os esquemas.

O contexto do estudo é o tópico números complexos de uma unidade curricular (uc) de matemática, de uma licenciatura do ensino superior português. Tendo em vista os objetivos descritos, busca-se responder às questões de investigação: que esquemas de demonstração são elaborados pelos alunos para essa tarefa? Quais os erros, nomeadamente os conceituais relativos a número complexo, cometidos pelos alunos nessas produções? Que relações existem entre os esquemas produzidos e os erros presentes?

Enquadramento teórico

Erro

Segundo ^{Rico (1998)}, erro é qualquer conhecimento detectado que seja deficiente e incompleto, evidenciando uma dificuldade (^{PINTO, 1998}). Neste sentido, a compreensão das dificuldades do aluno passa pela identificação dos seus erros no processo de ensino-aprendizagem. O erro pode ser encarado de várias formas, mas Lannin, Barker e Townsend (2007) propõem que o erro seja encarado como veículo da aprendizagem. Essa posição tem crescido na educação matemática, marcando a passagem de uma visão condutivista (avaliação do erro como produto) para uma visão construtivista (avaliação do erro como processo).

A descrição dos efeitos do erro por ^{Torre (1993)} abrange este olhar: destrutivo e deturpador, construtivo e criativo. Os dois primeiros dizem respeito à forma negativa, na qual o erro é um resultado que provoca falhas irreversíveis. Os dois últimos referem-se à forma positiva, na qual o erro é um processo, podendo constituir um instrumento de melhoria e de criatividade. Esta não reside no erro, “mas nas pessoas que são capazes de gerar novas ideias apoiando-se nele” (^{TORRE, 1993}, p. 15). Desse modo, no processo de ensino-aprendizagem, o erro tem grande valor pedagógico e pode constituir uma estratégia didática (^{PINTO, 1998}).

^{Pinto (1998}, p. 110) salienta que “o erro precisa ser um ‘observável’ para o aluno”, porém não o será “se, antes, não for um ‘observável’ para o professor”. Para identificar, analisar e refletir sobre o erro e combater o fracasso acadêmico, Davis e Esposito (1990 apud^{PINTO, 1998}) sugerem uma investigação a ser desenvolvida pelo professor em sala de aula. Após o professor observar o erro, ele precisa de criatividade para torná-lo visível e superável para o aluno, o que não é fácil (^{PINTO, 1998}). De fato, trata-se de uma dupla observação que, no caso do aluno, consiste na tomada de consciência do erro e do seu sentido.

A análise de erros pode, assim, ser uma metodologia de investigação e uma metodologia de ensino (^{CURY, 2007}). Utilizar a primeira para a segunda permite uma análise mais fina do erro, que não é apenas algo a ser corrigido, mas antes trabalhado. A possibilidade de criar uma estratégia didática surge, segundo ^{Pinto (1998)}, quando se cria um espaço de discussão do erro entre os envolvidos que permita amplificar os saberes acerca do erro e construir um processo bidirecional entre aluno e professor. Um exemplo é a utilização de erros na elaboração de questões conceituais para discussão em ambiente de aprendizagem pelos pares (^{BEITES; ROMANO, 2014}).

Como ^{Pinto (1998)}, ^{Cury (2007}, p. 80) tem como objetivo fazer os alunos refletirem sobre o erro, dando sugestões para o seu uso no ensino, com “intervenções didáticas que desestabilizem as certezas, levando o estudante a um questionamento”. A autora apresenta ainda uma visão da metodologia investigadora associada aos erros, salientando consistir em uma análise de conteúdo, mas, lembrando que, “As respostas dos alunos a questões abertas nem sempre vão pelo mesmo caminho, ou seja, nem sempre têm um mesmo tema; assim, é necessário, praticamente em cada estudo, reinventar os passos” (^{CURY, 2007}, p. 61).

A investigação relativa ao erro na aprendizagem abrange vários ramos da matemática, entre eles: geometria (ARCE; CONEJO; ORTEGA, 2014), análise (^{CURY, 2007}) e álgebra (BARROS; FERNANDES; ARAÚJO, 2016). Do conhecimento das autoras, o estudo de ^{Nordlander e Nordlander (2012)} parece ser o único sobre erros e números complexos. Esses autores, a partir dos erros num teste de identificação de números complexos, apresentaram quatro categorias de conceito imagem associado a conceito definição de número complexo: artifício matemático; números 2-dimensionais; extensão simbólica da matemática; e mistério incompreensível.

O referido teste de identificação, um dos instrumentos de recolha de dados de ^{Nordlander e Nordlander (2012)}, consistia em decidir se os números numa lista eram ou não números complexos. As conclusões do estudo apresentam uma tendência dos participantes: relacionar os números complexos com números 2-dimensionais, com uma parte real e uma parte imaginária, ou com aqueles que, pelo menos, têm a unidade imaginária i visível. Desse modo, a maioria dos participantes no estudo considerou, por exemplo, que i e cos π+i sin π são números complexos, mas que -2,5 e cos π+sin π não são.

Metodologia

A investigação, de natureza qualitativa, realizou-se numa unidade curricular de matemática do primeiro ano de uma licenciatura cujo programa inclui números complexos. O tópico foi abordado como revisão, pois constava no programa do ensino secundário que os alunos frequentaram. Durante o semestre, foram propostas tarefas que envolveram a elaboração de demonstrações. Neste trabalho, o foco foi uma tarefa de avaliação relacionada com o tópico supracitado (Figura 1).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 1 – Tarefa 

A tarefa não foi proposta nem resolvida nas aulas, não constando no material de estudo recomendado. Nas aulas do tópico foram trabalhadas: as demonstrações de comutatividades da adição e da multiplicação de números complexos, com apresentação pela professora e colaboração dos alunos passo a passo; e para qualquer Z∈C,|Z|2=ZZ¯ , com resolução (tentativa) em pequeno grupo de alunos e discussão em grande grupo na correção (dependendo do turno, pelos alunos ou pela professora).

Para analisar as produções dos 57 alunos na tarefa, recorreu-se à análise de conteúdo que, segundo Andréu Abela (1998 apud ARCE; CONEJO; ORTEGA, 2014), é uma técnica de interpretação de textos que permite conhecer melhor diversos aspectos e fenômenos. Em seguida, seguiu-se para as etapas essenciais da análise de conteúdo: “a pré-análise; a exploração do material; o tratamento dos resultados; a inferência; e a interpretação” (^{BARDIN, 2016}, p. 121).

Na pré-análise, o material foi organizado mediante leitura flutuante, tendo a seleção de documentos, a formulação de questões e os objetivos da análise como pontos de partida (^{CURY, 2007}). Foram descartadas doze produções em branco e duas só com o enunciado (sem desenvolvimento). Desse modo, o corpus (conjunto das produções trabalhadas após a pré-análise) é formado por 43 produções, referenciadas com A1, A2, …, A43, nas quais constam as anotações da professora.

Na exploração do material, realizou-se um estudo aprofundado do corpus, recorrendo a procedimentos de unitarização e de categorização (^{CURY, 2007}). Na unitarização, o material foi relido para definir as unidades de análise (produções), em que cada uma foi separada do corpus para se realizar as categorizações. Na unitarização e na categorização já se elaborou uma interpretação dos dados, pois a criação de categorias exige o estabelecimento de critérios.

O primeiro agrupamento seguiu critérios de categorizações de ED (^{HAREL; SOWDER, 1998}, ²⁰⁰⁷; ^{LEE, 2016}) com abertura para eventuais combinações destes (KANELLOS; NARDI; BIZA, 2018). Para o segundo agrupamento, relativo aos erros, uma produção correta foi separada das outras 42, parcial ou totalmente, incorretas. Estabeleceram-se critérios na criação indutiva de categorias e aplicação dedutiva destas, “compreendendo o que têm em comum e como podem ser reagrupadas” as unidades (^{CURY, 2007}, p. 64).

No tratamento de resultados, para cada categoria e com vista à compreensão do seu significado, a descrição da categoria foi apresentada por meio de um texto síntese e exemplos, extraídos do corpus, representantes da categoria. Como explica Moraes (1999 apud^{CURY, 2007}), a compreensão mais profunda é alcançada com a inferência, que provém do tratamento de resultados (^{BARDIN, 2016}), e com a interpretação, incluindo a busca de possíveis explicações para os erros.

Desenvolvimento

Resultados relativos a esquemas de demonstração

A análise das 43 produções dos alunos permitiu constatar que todos tiveram em conta a hipótese, ainda que a maioria a tenha interpretado de forma incorreta (subsecção “Erros do tipo EM”). Apenas um aluno (Figura 2) partiu da tese e, por equivalência lógica (cometendo erros), obteve a hipótese.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 2 – Produção A32 

Observou-se ainda que 23 alunos (53 por cento) mantiveram z e w para representar dois números complexos quaisquer e os demais escreveram z e w na forma algébrica. Em seguida, os estudantes usaram uma ou mais das seguintes estratégias: transitividade da igualdade; equivalência lógica; cálculo de cada membro e a comparação deles; cálculo de cada parcela do primeiro membro, soma e comparação com o segundo membro; e exemplos. Para a contabilização das ocorrências, considerou-se a estratégia utilizada em primeiro lugar. A maioria dos alunos recorreu à transitividade da igualdade (37 por cento) e à equivalência lógica (37 por cento). Cinco alunos efetuaram o cálculo de cada membro e a respectiva comparação. Quatro alunos calcularam separadamente cada parcela do primeiro membro e a sua soma, efetuando em seguida a comparação com o segundo membro. Dois alunos recorreram a exemplos.

Na Tabela 3 sintetizam-se os resultados obtidos quanto aos EDs, enquadrados nas categorias de ^{Harel e Sowder (1998)}, na primeira coluna, e nas quatro fases de ^{Lee (2016)}, na segunda, detalhadas na secção “Esquemas de demonstração (ED)”. Na terceira coluna, apresenta-se a descrição dos aspectos que caracterizam as produções dos alunos e permitem o enquadramento na categoria e na fase das colunas anteriores.

Tabela 3 – Distribuição dos EDs 

Harel e Sowder (1998)	Lee (2016)		Estudo
Categorias	Fases	Níveis	Descrição	Nº de ocorrências
Convicção externa	1. Tentativas que falharam em relacionar o antecedente e o consequente	0	Tentativas incipientes de resolução	6
			Recurso a argumentos de convicção externa ligados ao simbólico não referencial	4
			Recurso a argumentos de convicção externa não válidos no universo	13
Empírico	2. EDs baseados em exemplos ou erros de raciocínio lógico	1	Uso incipiente de exemplos	2
		2	Uso estratégico de exemplos para raciocinar (“experiência crucial”) ou inferências produtivas	0
	3. EDs baseados em inferências dedutivas incompletas	3	Confusão entre transitividade da igualdade e equivalência lógica: - usa igualdade (em vez de equivalência) entre igualdades sucessivas - usa equivalência lógica nas primeiras inferências e depois passa a usar igualdades sucessivas - acrescida do uso incorreto do símbolo “donde” e perda da igualdade numa das inferências	1 + 3 + 1
			Substituição de algumas ocorrências de z ou w de formas diferentes	3
			Inferências dedutivas incompletas, com mais de um erro	6
		4	Inferências dedutivas coerentes, apenas com um erro	3
	4. EDs baseados em inferências dedutivas coerentes	5	Construção de provas dedutivas informais	1

Fonte: Dados do estudo.

Fase 1

Vinte alunos (47 por cento) apresentaram EDs que se encontram no nível 0. As produções de seis alunos denotam tentativas incipientes de resolução. Três alunos fizeram uma ou duas inferências, sem concluir a tarefa (Figura 3).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 3 – Produção A3 

Outros três alunos deram a tarefa como concluída, mas efetuando apenas uma ou duas inferências e sem justificações (Figura 4).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 4 – Produção A19 

Em quatro produções, totalmente erradas, a forma de escrita remete para o recurso a argumentos de convicção externa ligados ao simbólico não referencial, dado o uso de simbologia matemática usada de forma não compreensível (Figura 5).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 5 – Produção A24 

Treze alunos elaboram inferências não válidas no universo da tarefa, assumindo, incorretamente, que as inferências que usaram e eram válidas para ℝ, também eram válidas para ℂ. Menciona-se que esses alunos mantiveram z e w para representar os números complexos. Na produção na Figura 6, representativa de outras oito, se a igualdade definida em ℂ for esquecida e os traços verticais forem considerados simples parêntesis curvos, as inferências estão corretas, no entanto a validade da dedução lógica falha desde o início, pois os alunos partiram de hipóteses falsas.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 6 – Produção A4 

A Figura 7 ilustra outro tipo de produções (3) com inferências não válidas no universo da tarefa, visto que os alunos utilizaram propriedades que conhecem em ℝ e (aparentemente) esqueceram que o contexto da tarefa era ℂ. No caso da Figura 7, foi usada a proposição ∀z,w∈IR,z2=w2⇒|z|=|w| , noutra produção a proposição utilizada foi ∀w∈IR,|w|=w2 representando, em ambas, o módulo ou valor absoluto de um número real. Na terceira foi usado o caso notável do quadrado da soma de dois números complexos como se fossem reais.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 7 – Produção A11 

Uma produção apresenta as duas situações referidas. Tendo em conta estas evidências, os EDs desses alunos foram classificados na categoria de convicção externa, numa subcategoria designada não válidos no universo e no nível 0.

Fase 2

Dois alunos usaram EDs empírico indutivos, nível 0. A produção que apresenta simplesmente um exemplo é a da Figura 8.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 8 – Produção A1 

Nesses dois casos, os alunos atribuíram valores concretos aos números complexos z e w e efetuaram os cálculos no sentido de verificar a igualdade. Diferencia-se a produção A14 (Figura 9) por se reconhecer uma fase inicial de intenção dedutiva, usando complexos genéricos na forma algébrica, que, no entanto, não foi levada até ao final, sendo a certa altura introduzida a sua concretização. Nas produções não existe qualquer ocorrência suscetível de ser classificada no nível 2.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 9 – Produção A14 

Fase 3

Dezoito alunos (42 por cento) apresentaram EDs dedutivos, distribuídos pelas fases 3 e 4.

Na fase 3, nível 3, encontram-se catorze alunos (33 por cento) cujas demonstrações foram baseadas em inferências dedutivas, mas com falhas grandes na coerência lógica e/ou na validade. Cinco alunos confundiram os conceitos de transitividade da igualdade e de equivalência lógica. Um aluno usou a igualdade (e não a equivalência) entre igualdades sucessivas (Figura 10).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 10 – Produção A9 

Três alunos começaram usando a equivalência lógica nas primeiras inferências e, a certa altura da dedução, empregaram igualdades sucessivas (Figura 11).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 11 – Produção A41 

O terceiro aluno, para além das falhas na dedução lógica anteriormente referidas, utilizou de modo incorreto o símbolo “donde” e não escreveu o segundo membro da primeira igualdade (Figura 12).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 12 – Produção A25 

Três alunos procederam à substituição de algumas das ocorrências dos números complexos genéricos z e w de formas diferentes (Figura 13).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 13 – Produção A8 

Considera-se, ainda, nesse nível um grupo de seis alunos cujas produções apresentaram inferências dedutivas incompletas com mais de um erro (Figura 14).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 14 – Produção A23 

Três alunos apresentaram EDs baseados em inferências dedutivas incompletas com falhas menores. Nesses casos há falha no conceito de módulo de um número complexo (Figura 15), razão pela qual são classificados no nível 4.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 15 – Produção A12 

Fase 4

Um aluno efetuou a resolução da tarefa sem erros, usando inferências indutivas coerentes, no entanto ainda usou representações informais na prova dedutiva (Figura 16). O ED desse aluno foi classificado no nível 5. Nas produções não existe qualquer ocorrência suscetível de ser classificada no nível 6.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 16 – Produção A6 

Resultados relativos a erros

Foram elaboradas categorias para os erros nas produções, cuja distribuição apresentamos na Tabela 4:

Erros do tipo EM

Dezenove alunos consideraram a igualdade de números complexos como consequente da igualdade de módulos desses complexos (Figura 17).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 17 – Erro da categoria EM na produção A36 

Para o módulo de um número complexo, quatro alunos consideraram números complexos, concretos ou representados por expressões gerais, que não pertencem ou que podem não pertencer ao conjunto ℝ⁺₀. Dois exemplos encontram-se na Figura 8 e na Figura 5, esta contemplando números complexos que podem nem ser números reais.

Três alunos consideraram a igualdade de números complexos equivalente à igualdade dos seus módulos (Figura 18). Três erros unitários surgiram da dedução de consequentes a partir da hipótese, em um caso também com uma equivalência: |z|=|w|=>w=−Z;|z|=|w|⇒|Re⁡(z)|=|Re⁡(w)| e |Im⁡(z)|=|Im⁡(w)|;|z|2=|w|2⟺Z=w .

Fonte: Dados do estudo

Figura 18 – Erro da categoria EM na produção A35 

Continuando com os erros unitários na categoria EM, três alunos indicaram expressões com duas parcelas para o módulo e para o quadrado do módulo de um número complexo. Concretamente, escreveram: |z|=(Re⁡(z))2+(Im⁡(z))2;|z|=(Re⁡(z))2+Im⁡(z)i2;|z|2=(Re⁡(z))2+(Im⁡(z))2i .

Um aluno apresentou duas expressões para os módulos da soma e da diferença de dois números complexos, parecendo encará-los não só como parcelas nessas operações, mas como a parte real e o coeficiente da parte imaginária de algum número complexo: |Z+w|=(Z2+w2);|Z−w|=(Z2−w2) .

Erros do tipo EA

Cinco alunos efetuaram o quadrado do produto de dois números complexos por meio da multiplicação do primeiro pelo quadrado do segundo (Figura 19). Dois alunos consideraram que o quadrado de um número complexo é igual ao produto do número complexo pelo seu conjugado, parecendo aludir à conhecida propriedade |Z|2=ZZ¯ .

Fonte: Dados do estudo.

Figura 19 – Erros das categorias EA e ED na produção A10 

Dois alunos consideraram o seguinte desenvolvimento do quadrado da diferença de dois números complexos: (Z−W)2=Z2−2ZW−W2 (Figura 20). Ainda, presencia-se um erro unitário do tipo EA: |Z|2+|Z|2=4|Z|2 , embora possa ter sido motivado pela observação do segundo membro.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 20 – Erros da categoria EA na produção A7 

Outros erros aritméticos, e unitários, também são relativos ao desenvolvimento de casos notáveis da multiplicação. Concretamente, três alunos desenvolveram o quadrado da soma de dois números complexos nas seguintes formas: (2z+2w)2=z2+2zw+w2;(z+W)2=Z2+2zW¯+w2;(Z+W)2=Z2+Zw+w2 .

Quatro alunos apresentaram erros unitários relacionados com o quadrado de um número complexo: −(−Z2)=−Z2;−(−Z)2=Z2; bix (−bi)=(−bi)2;Z2=w2⇔Z=w;|Z2−w2|=4|Z|2 . Considerou-se a última igualdade, pois, embora o raciocínio não seja visível na produção, coexiste com a escrita da igualdade a provar.

Um aluno cometeu um erro de colocação em evidência de fator comum, relativo à propriedade distributiva da multiplicação quanto à adição de números complexos: Zw+Zt=Z(w+Zt) . Também numa ocorrência, um aluno escreveu uma expressão igual à mesma dividida pelo máximo divisor comum dos coeficientes dos termos.

Erros do tipo ER

Doze alunos consideraram que o quadrado do módulo de um número complexo é igual ao quadrado desse complexo (Figura 7). Dois alunos consideraram que a igualdade dos módulos de dois números complexos é equivalente à igualdade dos quadrados desses complexos (Figura 7).

Apesar de não haver uma relação de ordem em ℂ, a Figura 7 mostra que um aluno considerou positivo o quadrado de um número complexo, bem como o seu módulo. Outro erro unitário na categoria ER consiste em considerar que o módulo de um número complexo é igual às raízes quadradas do quadrado desse complexo (Figura 21).

Fonte: Dados do estudo.

Figura 21 – Erro da categoria ER na produção A16 

Erros do tipo ED

Seis alunos consideraram, implicitamente, implicações sucessivas da igualdade pretendida em vez de equivalências. Desse modo, mesmo não havendo outros erros, não seria possível obter uma demonstração por equivalência lógica e valor lógico verdade da última igualdade (ex. Figura 19).

Dois alunos consideraram z e w como números complexos concretos, apesar de um deles os tomar inicialmente como números complexos arbitrários. Apresentaram, assim, um caso particular – um dos alunos com testagem completa (Figura 8) e o outro com testagem incompleta da igualdade a provar – em vez de uma demonstração.

Dois alunos escreveram a igualdade a provar igual ao desenvolvimento do primeiro ou do segundo membro da mesma (Figura 11). Logo, assumem implicitamente o que se quer demonstrar, mas sem evidências de incorrer em circularidade lógica.

Um aluno combinou duas formas de demonstração (Figura 22), o que, mesmo sem outros erros, impossibilitaria logicamente a obtenção de uma demonstração. Escreveu uma equivalência em que, concomitantemente, apresentou igualdades sucessivas de uma expressão para chegar ao segundo membro do que queria provar.

Fonte: Dados do estudo.

Figura 22 – Erro da categoria ED na produção A28 

Esquemas de demonstração e erros

Foi organizado na Tabela 5 os EDs, e os erros presentes, nas produções dos alunos.

Nas produções classificadas no nível 0, consideradas tentativas incipientes de resolução, constata-se a existência cumulativa de erros de tipos diversos (combinações de EL, EM, EA, EN), não revelando a existência de alguma estratégia com vista à demonstração.

As produções totalmente erradas acumulam também diversos tipos de erros. Dada a forma de escrita simbólica sem sentido matemático, essas produções foram associadas a EDs de convicção externa ligados ao simbolismo não referencial.

Ainda no nível 0, encontram-se treze produções que usaram argumentos de convicção externa não válidos no universo (ℂ) da tarefa. A classificação dos EDs em causa está relacionada aos erros cometidos, que foram de todos os tipos, mas em particular do tipo ER.

Nas duas produções que recorrem a EDs empírico indutivos, o erro de tipo ED está diretamente associado ao tipo de esquema usado. O erro EN presente em A14 também se relaciona a esse tipo de esquema ao utilizar a mesma notação (z e w) para complexos arbitrários e para complexos concretos.

Nos casos dos EDs dedutivos, os erros cometidos não condicionam o esquema utilizado, mas o nível em que se enquadram (3 e 4). As produções com esse tipo de esquema, níveis 4 e 5, apresentam, respectivamente, menor número de tipos de erros ou não os têm (nos níveis 5 e 6 não são aceitos erros).

Discussão

As estratégias de resolução mais escolhidas pelos alunos foram a transitividade da igualdade e a equivalência lógica, com igual número de ocorrências e de forma expressiva em comparação às restantes estratégias usadas. O recurso a exemplos foi uma delas. Só foram identificadas duas ocorrências (5 por cento), nível 1, em que os alunos consideraram números complexos concretos, o que não corrobora estudos existentes (^{BUCHBINDER; ZASLAVSKY, 2019}; ^{CHAZAN; LUEKE, 2009}; ^{HEALY; HOYLES, 2000}; ^{RODRIGUES, 2009}). Uma possível explicação pode passar pelas aulas da uc nas quais se tentou trabalhar a demonstração. Como Kanellos, Nardi e Biza (2018), encontraram-se produções que combinam mais de uma categoria de ^{Harel e Sowder (1998)}. Uma das produções, com ED empírico, apresenta também algumas inferências que podem ser consideradas como ED dedutivo, nível 3.

As categorias de ^{Harel e Sowder (1998)} nas quais se enquadram a maioria dos EDs analisados são de convicção externa (23) e dedutivo (18). Os níveis de ^{Lee (2016)} permitiram destrinçar particularidades entre as 41 produções. No nível 0, há casos (6) em que os EDs são quase inexistentes, o que dificultaria a inclusão em alguma das subcategorias de ^{Harel e Sowder (1998)}. Talvez por se tratar de alunos do ensino superior, as subcategorias autoritário e ritual da categoria convicção externa não foram identificadas, tendo a subcategoria simbólico não referencial quatro ocorrências.

Treze produções evidenciaram o recurso a argumentos de convicção externa, num sentido que não encontramos em ^{Harel e Sowder (1998)} e ^{Lee (2016)}. Dado o nível de escolaridade destes alunos, eles já tiveram contato com tarefas cuja resolução exigia EDs dedutivos, estruturalmente semelhantes aos passíveis de serem usados na resolução da tarefa. A diferença crucial é a mudança do contexto matemático da tarefa, os familiares aos alunos eram em ℝ e o solicitado era em ℂ. Os alunos resolveram a tarefa como se estivessem em ℝ, não discernindo a adequação ou não dessa atitude, que por isso não se reflete no sentido de utilizar apenas o que é extensível a ℂ. É ainda importante mencionar que esses alunos pertencem ao grupo dos que mantiveram as variáveis z e w, e usaram-nas como se representassem números reais. Entende-se que estes casos evidenciam EDs de convicção externa, mas não se enquadram nas subcategorias indicadas em ^{Harel e Sowder (1998)}, sendo necessária a criação de uma nova subcategoria denominada não válidos no universo.

No último grupo de produções há evidência do uso de EDs dedutivos, mas com validade nula, dado que em termos lógicos os alunos partiram de premissas falsas. Assim, também nesses casos, há combinação de categorias (KANELLOS; NARDI; BIZA, 2018). O fato de não aparecer o nível 2 (^{LEE, 2016}), relacionado ao uso estratégico de exemplos, pode prender-se ao fato de a tarefa associada ao estudo ser de demonstração para uma proposição que é dito ter valor lógico verdade. Quanto aos EDs dedutivos, foram encontradas produções que se distribuem pelos níveis 3, 4 e 5 de ^{Lee (2016)}, 78 por cento no nível mais baixo. Apenas uma produção estava correta, mas ainda não usava representações formais. Ou seja, apenas um aluno se encontra na fase 4 (^{LEE, 2016}).

Os EDs dedutivos ainda apresentam falhas ao nível da dedução lógica, havendo lacunas na compreensão dos conceitos de igualdade, equivalência e implicação. As falhas na validade das deduções prendem-se a dois aspectos. Um, designado (falta de) discernimento, que foi considerado um nível anterior ao nível 3 (^{LEE, 2016}), dentro da fase 3. Está relacionado à compreensão da tarefa proposta, a identificação do seu contexto matemático, das hipóteses e da tese, bem como com a procura de conhecimentos prévios mobilizáveis para encontrar a solução (^{POLYA, 2003}). Mas, principalmente, com as características do raciocínio lógico dos alunos, por exemplo, o fato de que, partindo de premissas falsas e usando lógica matemática, é possível provar qualquer absurdo, pois não é a lógica que detecta se as premissas são falsas, é quem usa a lógica que tem de discernir se o que está empregando é ou não verdadeiro. O outro aspecto prende-se aos erros cometidos.

A maioria dos erros é dos tipos EL e EM, respectivamente, relacionados com a compreensão da linearidade de uma função e do módulo de um número complexo. As frequências dessas categorias diferem apenas em duas unidades, sendo expressivas quando comparadas às frequências de outras categorias de erros. Contudo, a categoria dominante EL, cujo erro com maior número de ocorrências consiste em considerar o módulo da soma de dois números complexos igual à soma dos módulos desses complexos, não inclui o erro dominante na totalidade das produções. É a categoria EM, não dominante, que o inclui: considerar a igualdade de números complexos como consequente da igualdade de módulos desses complexos. O segundo erro mais frequente pertence à categoria, não dominante, ER: considerar que o quadrado do módulo de um número complexo é igual ao quadrado desse complexo.

Os erros da categoria EL emergem da aplicação de pelo menos uma das duas condições de linearidade a funções de variável complexa (função módulo, dada por Z⟼|Z| , função quadrado, dada por Z⟼Z2 , e suas composições) ou de variável real (função raiz quadrada, dada por x⟼x ) que não são lineares. Esses erros podem ser uma ilusão da linearidade, como no contexto de ampliação e redução de figuras geométricas planas e sólidos (DE BOCK et al., 2007). Concretamente, em erros que resultam da aplicação da segunda condição de linearidade (imagem de um múltiplo escalar de um vetor igual ao escalar pela imagem desse vetor) são indicados fatores explicativos para a utilização da proporcionalidade quando não for adequado: raciocínio intuitivo e não analítico; experiências escolares; e conteúdos específicos do programa.

Segundo estudos feitos em diversos anos de escolaridade (^{BAGNI, 2000}), alunos principiantes tendem a considerar lineares todas as funções. Para muitos que nem conhecem a noção de função linear na álgebra, como parte dos alunos do estudo ao resolverem a tarefa, o sentido de considerar não é pensar que as funções são lineares. De fato, o sentido é o do modo operacional (MARKOVITS; EYLON; BUCKHEIMER, 1986 apud^{BAGNI, 2000}) – aplicar as condições de linearidade de uma função sem pensar na noção. Alguns autores falam em obstáculos afetivos, que podem ser difíceis de ultrapassar (D’AMORE; MARTINI, 1997 apud^{BAGNI, 2000}), quando os alunos, tendo utilizado anteriormente uma regra simples e, não conhecendo outra, a estendem incorretamente por a associarem ao sucesso.

Os erros da categoria EM estão relacionados ao conceito de módulo de um número complexo e resultam de: consequentes ou equivalências a partir de igualdades que envolvem módulos de números complexos; expressões para o módulo de um número complexo, ou para o quadrado deste; e considerar o módulo de um número complexo não pertencente a ℝ⁺₀. Na segunda proveniência, com duas ocorrências na produção de um aluno, embora pouco expressivas em número, podem estar relacionadas com um conceito imagem de números complexos: números 2-dimensionais (^{NORDLANDER; NORDLANDER, 2012}). Com efeito, as duas parcelas na expressão em módulo, cada uma delas sendo um número complexo (z, w) mas sem a escrita da unidade imaginária, parecem ser consideradas como a parte real e a parte imaginária de um número complexo.

A categoria EA é a terceira com maior número de erros, ligeiramente superior a metade das ocorrências em cada uma das categorias EL e EM, relacionados à aritmética dos números complexos. Os erros em EA, exceto dois, provêm de quadrados de expressões. Em algumas das ocorrências, e numa das exceções, a prioridade das operações não foi atendida (^{ACCARDO; KUDER, 2017}; ^{RUSHTON, 2014}) e, em particular, ocorreu uma incorreção na aplicação da distributividade da multiplicação em relação à adição de complexos. Esses erros operacionais têm como causa frequente o nervosismo (^{TORRE, 1993}). Noutra exceção, surge um erro de simplificação presenciado em anos anteriores ao ensino superior: expressão igual à mesma dividida pelo máximo divisor comum dos coeficientes dos termos, parecendo coincidir com as noções de expressão e equação (^{RUSHTON, 2014}).

Na categoria ER, com um número de ocorrências que só difere em três da categoria EA, estão os erros relacionados à extensão de (quase) propriedades dos números reais. Os erros em ER são as versões complexas de conhecidas (quase) propriedades dos números reais, envolvendo quadrados e módulos de números complexos e suas relações. Esses erros podem ser vistos como uma tentativa de extensão de uma regra familiar que, para alunos que não encontram regras específicas para uma tarefa – tecnicamente, segundo ^{Bagni (2000)}, por fraqueza algébrica –, pode parecer natural e confortável. O mesmo processo pode ser seguido por um matemático, mas com uma diferença relevante que consiste, após a tentativa, num processo regulatório de questionamento acerca da validade no contexto específico.

Com frequência igual à da categoria ER, os erros de tipo EN estão relacionados à compreensão da notação matemática. As ocorrências em EN resultam de incorreções de escrita, em linguagem algébrica ou em linguagem verbal. Por coexistirem com notação correta em situações similares da mesma produção, podem ser consideradas erros mecânicos ou lapsos (troca de sinal, de letras, de palavras, entre outros) que, segundo ^{Torre (1993)}, são mais frequentes em alunos que gostam de tentar novos caminhos para resolver uma tarefa, sendo comuns em alunos hiperativos. Salientamos duas ocorrências de falta de parêntesis na representação do simétrico de um número complexo que, embora pouco expressivas em número, traduzem um erro frequente em anos anteriores ao ensino superior e ligado à prioridade das operações (^{ACCARDO; KUDER, 2017}).

O tipo de erro com menor frequência é o ED, relacionado à compreensão da demonstração em matemática, com uma diferença de seis ocorrências das categorias ER e EN. As ocorrências de erro do tipo ED provêm maioritariamente de formas de demonstração, ligadas a duas estratégias lógicas, incorretamente utilizadas. Embora os estudos (^{BUCHBINDER; ZASLAVSKY, 2019}; ^{CHAZAN; LUEKE, 2009}; ^{HEALY; HOYLES, 2000}; ^{RODRIGUES, 2009}) apontem uma tendência para a utilização de casos particulares para demonstrar, o presente trabalho não a corrobora por este erro do tipo ED ser residual. A possível explicação das aulas, indicada no começo desta seção, pode ainda justificar a menor frequência da categoria ED. De fato, apesar de não serem capazes de construir uma, os alunos poderiam ter uma expectativa clara de uma demonstração válida (STYLIANIDES; STYLIANIDES, 2009 apud^{LEE, 2016}).

Não se reconhece nenhuma tendência na distribuição dos diversos tipos de erros identificados relativamente a EDs específicos, parcial ou totalmente incorretas, que os alunos elaboraram nas produções em resposta à tarefa (Figura 1). No entanto, alguns tipos de erros (EM, ER, EN) condicionam mais EDs de convicção externa. Esses tipos de erros estão ligados à compreensão dos conceitos, da sua representação e do universo matemático da tarefa. Os erros do tipo ED são também um obstáculo à consecução de EDs dedutivos, agora ligados à compreensão do que é uma demonstração em matemática.

A notação z e w para representar números complexos genéricos, ainda que correta, contribuiu para os alunos esquecerem que se tratavam de complexos, assumindo-os como reais. Se fossem analisados no universo matemático que os alunos consideraram (ℝ), os EDs poderiam ser considerados dedutivos. Sendo alunos do ensino superior, é como se utilizassem EDs em níveis (LEE, 2006) diferentes consoante o universo matemático – dedutivos em contextos com que estão familiarizados e de convicção externa em novos contextos. Isso não corrobora a ideia de ^{Lee (2016)}, sobre a classificação de Harel e Sowder, de que a demonstração matemática dos alunos progride de uma orientação indutiva para uma dedutiva, mas sugere uma nova.

Atendendo às categorizações de ^{Harel e Sowder (1998)}, cujas categorias representam níveis cognitivos diferentes do desenvolvimento matemático, e de ^{Lee (2016)}, visando perceber certas sutilezas cognitivas, seria expectável a diminuição do número de tipos de erros à medida que aumenta o nível do ED. O nível 4 corresponde claramente ao menor número de tipos de erros, mas a expectativa não se concretiza nos níveis 0 a 3, particularmente no nível 1 para o 3. Apesar dos EDs dedutivos, no nível 3 presencia-se um grande número de tipos de erros, comparável ao que se nota no nível 0, algo também observado por ^{Selden e Selden (1987)} sem a especificação de níveis.

Considerações finais

De modo a promover a aprendizagem dos alunos, o primeiro passo no tratamento didático do erro deve consistir no erro ser observável para os professores. O segundo passo é tornar o erro observável e superável para os alunos, exigindo uma reflexão do professor sobre a (remodelação da) sua prática letiva. Neste trabalho, por meio de produções de alunos do ensino superior para uma tarefa de demonstração de um caso particular da identidade do paralelogramo, foi possível trazer alguma luz quanto ao primeiro passo no tópico números complexos. Como os erros dos alunos devem provocar conflitos cognitivos ao professor, que o levem a questionar a natureza do erro, contribuiu-se também para a reflexão necessária no segundo passo. Em seguida, detalham-se as conclusões do trabalho e apresentam-se as considerações finais, nomeadamente quanto aos contributos novos do estudo.

Os esquemas de demonstração nas produções dos alunos foram classificados partindo das categorias de ^{Harel e Sowder (1998)} e das fases de ^{Lee (2016)}, mas, ao contrário de outros estudos, apenas foram registradas duas ocorrências de EDs empíricos. Os alunos utilizaram, principalmente, EDs de convicção externa e dedutivos. Os de convicção externa, majoritariamente, numa subcategoria nova designada (argumentos de convicção externa) não válidos no universo, cuja característica diferenciadora é a não adaptação à mudança de contexto matemático. As subcategorias autoritário e ritual não foram identificadas e o número de ocorrências na subcategoria simbólico não referencial foi residual. Os EDs dedutivos ainda com falhas na dedução lógica apresentam inconsistências nos conceitos de igualdade, equivalência e implicação, com consequências na validade das deduções.

Os resultados encontrados apontam para a existência, na fase 3 de ^{Lee (2016)}, de um nível novo, prévio ao 3, caracterizado por: discernimento incipiente da compreensão da tarefa, do contexto matemático, das hipóteses e da tese, e dos conhecimentos prévios a mobilizar. O aspecto do contexto matemático emerge em ED incluído nesse novo nível criado, com a presença natural de erros que resultam da extensão de (quase) propriedades dos números reais. Essas ocorrências remetem para o conceito imagem de números 2-dimensionais de ^{Nordlander e Nordlander (2012)}, que foi identificado por meio de números complexos concretos. Neste estudo, estende-se a identificação do mencionado conceito imagem, por meio de números complexos quaisquer denotados por z. Concretamente, nem as partes real e imaginária, nem a unidade imaginária, estão visíveis com essa notação.

Identificaram-se erros relacionados com: a compreensão do conceito de linearidade de uma função; a compreensão do conceito de módulo de um número complexo; a aritmética dos números complexos; a extensão de (quase) propriedades dos números reais; a notação matemática; e a compreensão do conceito de demonstração. Foram apresentadas ainda possíveis explicações para os erros, em sua maioria relacionados com a compreensão dos conceitos de linearidade de uma função e de módulo de um número complexo. No primeiro caso, o erro mais frequente consiste em considerar o módulo da soma de dois números complexos igual à soma dos módulos desses complexos. No entanto, globalmente, o erro mais frequente diz respeito ao segundo caso: igualdade de números complexos como consequente da igualdade de módulos desses complexos.

Também bastante frequente é o erro de considerar versões complexas de conhecidas (quase) propriedades dos números reais, envolvendo quadrados e módulos de números complexos, associado a ED de convicção externa na nova subcategoria não válidos no universo. Os EDs mais utilizados e os erros mais cometidos apontam no sentido de que a demonstração matemática pode não progredir de uma orientação indutiva para uma orientação dedutiva, como defendia ^{Lee (2016)} contrariamente a ^{Harel e Sowder (1998)}, pois os alunos do estudo manifestaram EDs dedutivos em contextos familiares (números reais), retrocedendo nos níveis de Lee num contexto matemático novo (números complexos). Para além das referidas associação e indicação, não foi descoberta uma relação propriamente significativa entre os EDs usados e os erros cometidos.

Dos resultados deste trabalho, cuja divulgação pode dar pistas para a prática letiva de professores do ensino secundário e do ensino superior, emerge o desafio criativo de aproveitar a análise realizada para tornar o erro observável e superável para outros alunos. De fato, dos EDs e dos erros identificados neste estudo, obteve-se material com potencial para gerar uma estratégia didática. Duas formas possíveis podem gerar discussão: a partir de dúvidas em sessões de estudo (^{CURY, 2007}); e a partir de questões conceituais construídas com erros (^{BEITES; ROMANO, 2014}). A título de exemplo, para discussão em ambiente de aprendizagem pelos pares, elaborou-se uma questão conceitual (Figura 23) com o erro que possui a maior frequência (a), um erro com uma só ocorrência (b) e, no sentido da validade num certo universo matemático, uma conhecida propriedade dos números reais (c).

Fonte: Elaboração própria com os dados do estudo.

Figura 23 – Proposta de uma questão conceitual