Reseña del significado de probabilidad

En la historia, se hace un recuento de las primeras nociones de probabilidad al término de la Edad Media, comenzando por la correspondencia entre el matemático Blas Pascal y el abogado Pierre Fermat, donde se plantea la solución de problemas relacionados con el azar. A través del desarrollo de la teoría de la probabilidad, se encuentran también problemas planteados por Galileo, al Duque de Toscana, que están relacionados con el análisis combinatorio en un juego de dados. Estos planteamientos hicieron que varios matemáticos o apasionados de la ciencia, como Bernoulli, Abraham de Moivre, Thomas Bayes, Lagrange, entre otros, realizaran aportaciones que contribuyeron en la conformación de diferentes significados de la probabilidad a lo largo de estos años.

Las primeras nociones de probabilidad se encuentran al término de la época de la Edad Media (al final del año 1453) y al inicio del Renacimiento (s. XV-XVI), etapa que se caracterizó por la actividad artística, arquitectónica, intelectual y científica. A partir de esta era, con el avance de las matemáticas, se comienza a dar una explicación coherente a fenómenos que no seguían un patrón determinístico, sino aleatorio (^{Restrepo; González, 2003}).

El desarrollo de la teoría probabilística se atribuye al médico italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), escritor que, en el año de 1563, termina el primer libro de probabilidad llamado “Liber de ludo aleae”, que trata sobre el juego de los dados. No obstante, el primer indicio del desarrollo de la teoría de la probabilidad surge de la correspondencia sostenida por Blas Pascal (1623-1662, matemático francés) y Pierre Fermat (1601-1665, abogado de profesión y matemático por vocación), donde comparten un problema que surge cuando Blas hacía un viaje con un jugador apasionado por los dados y cartas conocido como el caballero Meré.

Al participar en un juego de dados, el caballero creyó que había encontrado una “falsedad” en los números, al observar que el comportamiento de los dados era diferente cuando se tiraba un dado que cuando se lanzaban dos. La “falsedad” radicaba en una comparación errónea entre la probabilidad de sacar un mismo número con un solo dado o con los dos. Para el jugador, debía existir una relación proporcional entre el número de jugadas que fueran necesarias para conseguir que sucediera el evento en un caso y en otro. El problema se centraba en que el caballero no tomaba en cuenta que, en el segundo caso, se estaba analizando una probabilidad compuesta por una combinación.

Posteriormente, en una de sus cartas, Pascal narra esta anécdota, donde dice a Fermat “[…] el caballero Meré tiene mucho talento, pero no es geómetra; esto es, como sabéis un gran defecto” (carta del 29 de julio de 1654). Aunque Pascal y Fermat no expusieron sus resultados por escrito, Chrisitaan Huygens, publicó en 1657 un breve tratado llamado “De Ratiocinnis in ludo aleae”, inspirado en la correspondencia sostenida entre Pascal y Fermat (^{Restrepo; González, 2003}).

Si se analizan las cartas de Pascal a Fermat, se puede observar que Pascal emplea las palabras “valor”, “chance”, “combinación” para hacer referencia a objetos abstractos. Estas expresiones le sirven a Pascal como instrumentos para resolver algunas cuestiones propuestas por el caballero Meré (^{Batanero, 2005a}). Posteriormente, uno de los problemas primitivos fue propuesto a Galileo por el Duque de Toscana en 1620. Este consistía en explicar por qué al lanzar dos dados, aunque las sumas 9 y 12 se pueden componer en el mismo número de veces, que las sumas de 10 y 11, por experiencia, los jugadores preferían apostar más por la segunda (^{Batanero, 2005a}).

El problema expuesto por Blas Pascal sobre el caballero Meré y otros relacionados con el azar dieron origen al cálculo de las probabilidades. En consecuencia, diversos problemas probabilísticos se fueron planteando a través de la historia, y algunos matemáticos fueron interesándose en la solución de estas nuevas propuestas.

Los problemas que surgieron durante el desarrollo histórico de la teoría de la probabilidad son adecuados para analizar los significados en torno a este concepto. Según ^{Batanero (2005a)}, en el caso de la probabilidad, existe una diferencia entre el conjunto de prácticas ligadas a la resolución del campo de problemas y el objeto matemático probabilidad, que ha surgido históricamente y sigue evolucionando como consecuencia de dichas prácticas. Por tal motivo, a lo largo del desarrollo histórico de la probabilidad, diferentes significados han sido asociados al concepto, tales como el significado intuitivo, laplaciano, frecuencial, subjetivo y matemático, que han sido descritos en ^{Batanero (2005a)}. En la presente investigación, nos compete el significado intuitivo.

En cuanto al significado intuitivo de la probabilidad, los juegos de azar son comunes en todas las civilizaciones primitivas. Aparecen tanto en niños como en personas que no han estudiado probabilidades. Ellos utilizan frases y expresiones coloquiales para cuantificar los sucesos inciertos y expresar el grado de creencia en ellos (^{Batanero, 2005a}). Estas ideas “[…] surgen ligadas a las apuestas, la esperanza, la ganancia en un juego y el concepto de juego equitativo, no se precisaron hasta que se trató de asignar números a estos grados de creencia para poder comparar la verosimilitud de diferentes sucesos” (^{Batanero, 2005a}, p. 253).

Marco teórico y antecedentes

La historia es un concepto pedagógico transversal en el análisis didáctico en general y en el análisis del contenido en particular (^{Cañadas; Gómez; Pinzón, 2018}). Es por ello que se hace una revisión del significado de probabilidad intuitivo a partir de las ideas de Pascal y Fermat, que es cuando surgen las primeras nociones de teoría de la probabilidad en Europa Occidental.

El significado intuitivo de probabilidad es definido por ^{Alsina y Vásquez (2016)} como aquél que utiliza términos de uso común para referirse a la incertidumbre y expresar el grado de creencia en relación a sucesos inciertos. ^{Batanero (2005a)} argumenta que las ideas intuitivas de probabilidad como grado de creencia personal es común encontrarlas en los juegos de azar. Para ^{Gómez y Contreras (2013, p. 572)}, las primeras ideas intuitivas surgieron “ligadas a las apuestas, esperanza y ganancia en un juego, así como el concepto de juego equitativo y no se precisaron hasta que se trató de asignar números para poder comparar la verosimilitud de diferentes sucesos”.

La probabilidad intuitiva anticipa la realidad sin ser corroborada por la razón, y encaminar esa intuición de forma adecuada en los estudiantes de los primeros niveles educativos podría determinar un adecuado razonamiento probabilístico.

Ahora bien, la noción de significado de un concepto matemático escolar es propuesta por ^{Rico (2012)}, quien considera tres componentes para el significado de un concepto matemático: la estructura conceptual, sistemas de representación y la fenomenología como elementos centrales para establecer los significados de un concepto matemático que se puede estudiar desde diferentes significados.

La estructura conceptual hace referencia a los conceptos, definiciones, propiedades, argumentos y proposiciones que de ahí se derivan, así como sus criterios y veracidad (^{Rico, 2012}).

Los sistemas de representación son las distintas formas de representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos (^{Gómez, 2007}).

Finalmente, la fenomenología se refiere al contexto en donde es utilizado, la situación o problema en donde el concepto tiene un sentido (^{Gómez, 2007}).

En este estudio, se toma la definición del significado propuesta por ^{Rico (2012)}, con el objeto de identificar, organizar y caracterizar los significados de referencia asociados al concepto intuitivo de probabilidad mediante la metodología que se describe a continuación.

Significado intuitivo de la probabilidad en la lectura de las fichas

En este apartado, se presentan los resultados que se obtienen del análisis del contenido, a través de las fichas donde se organizaron los significados intuitivos de la probabilidad, presentes en el desarrollo histórico del concepto. Se toma como base la revisión de los documentos de donde se sustrae la información. Una vez que se infieren significados interpretativos en los textos seleccionados, se han clasificado en las categorías de análisis propuestas por ^{Rico (2013)}.

La Tabla 2 presenta un fragmento de ^{Restrepo y González (2003)} acerca del avance en las matemáticas y la filosofía en donde se comienza, dando una explicación a fenómenos que seguían un patrón aleatorio.

El fenómeno aleatorio que se encuentra en el nivel dos se considera dentro del campo conceptual, donde se intenta dar una explicación coherente a fenómenos no determinísticos en contextos no matemáticos.

A través del desarrollo intuitivo de la probabilidad, no se ha llegado al nivel de estructura, es decir, los significados asociados al concepto de probabilidad todavía no son considerados como una estructura matemática. Dentro de la tipología contemporánea de las probabilidades, ésta precede a las demás, lo que significa que el significado de probabilidad intuitiva fue el primero en la clasificación que se ha propuesto.

Cuando continuamos con el análisis del documento de ^{Restrepo y González (2003)}, encontramos que los primeros términos que se ubican en el nivel uno, el juego de un dado y el juego con dos dados, surgen a partir de las ideas de Pascal, debido a su constante acompañamiento del caballero Meré, célebre por su afición a juegos de azar. El primer resultado arroja que el comportamiento del juego de los dados es diferente con uno que con dos dados. Hasta entonces, el caballero afirmaba que existía una relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para conseguir el efecto deseado tanto con un dado como con dos, hipótesis que denominamos resultado falso.

Llama la atención, en el mismo documento, la afirmación del caballero Meré que Pascal pone en duda e intenta probar el desacuerdo junto con el jurista francés Pierre Fermat. Como resultado, se encuentra que, si los resultados son equiprobables, entonces existe una relación proporcional entre jugadas. Surge entonces el concepto que hemos caracterizado en el nivel dos: equiprobable, en el que se encuentra un sentido a la afirmación de Meré. Es cuando finalmente se empieza a formalizar la teoría de la probabilidad.

La equiprobabilidad que surge como concepto en el nivel dos se consideró un resultado erróneo encontrado por el caballero, ya que parte de que las combinaciones tenían la misma posibilidad de ocurrencia. Pero, para probar que estaba equivocado, en el campo procedimental, se encuentra que se buscaba explicar por qué las sumas de determinadas combinaciones se componían el mismo número de veces al lanzar dos dados, y Galileo responde correctamente a estos planteamientos.

En otro sentido, en la correspondencia que se realiza entre Fermat y Pascal, en el documento de ^{Batanero (2005a)}, hemos identificado los términos numerales, letras y fracciones, y se introducen nuevos conceptos: esperanza matemática; posibilidades; número combinatorio; juego equitativo; frecuencia; y espacio muestral. Estos conceptos marcan la pauta del surgimiento de la probabilidad intuitiva, sin embargo, con los antecedentes descritos, no se ha definido con formalidad el concepto de probabilidad (Tabla 3).

En el campo procedimental, se considera una destreza resolver cuestiones propuestas por el caballero Meré, o en otro contexto dar explicación al porqué las sumas 9 y 12 se pueden componer en el mismo número de veces al lanzar dos dados que las sumas 10 y 11 (problema propuesto a Galileo por el Duque de Toscana alrededor de 1620). Aunado a ello, como destreza, se intentaba asignar números a ciertos grados de creencia, encontrado también en fragmento de ^{Batanero (2005a)}.

En el mismo documento, en el segundo nivel del campo procedimental, se encontró una situación muy interesante, que fue que tanto Pascal como Fermat y Galileo trataron de explicar, de forma coherente, fenómenos no determinísticos, además de comparar la verosimilitud de diferentes sucesos que estaban relacionados con el azar.

En ^{Batanero (2005a)}, se encuentra que la ganancia es un término que toma importancia en los juegos de azar debido a la apuesta. Se plantearon la pregunta: ¿cómo dividir las apuestas de un juego incompleto? Es decir, qué pasaba si el juego no había terminado, cuál era la forma justa para ambos jugadores. Como en aquel tiempo estaban prohibidas las apuestas, era posible que, a mitad del juego o aun cuando fuera más avanzado, llegara alguna autoridad y lo suspendiera.

En el análisis del documento de ^{Batanero (2005a)}, se registró que en el sistema de representación es identificado el uso de un lenguaje ordinario. En contextos no matemáticos, se utilizan palabras de manera cotidiana, como “chance” o “combinación”, que son identificadas en la correspondencia entre Fermat y Pascal. Este último intenta resolver los problemas planteados por el caballero Meré apoyado en el triángulo aritmético. Además, se ha identificado la importancia de ganar un juego relativo a la esperanza. La apuesta juega un papel importante en los juegos de azar, de ahí la importancia en realizar cálculos para tomar ventaja de un juego u otro. Se encuentran pocas situaciones en un contexto matemático. Sin duda, la situación que prevalece es un contexto no matemático, y se tienen en cuenta los juegos de azar, como dados o cartas, y la experiencia del jugador. Cabe mencionar que no se muestran todas las fichas, porque, para cada uno de los documentos de análisis, se muestra un ejemplo de ellas. En total, se analizaron 49 fragmentos de los textos.

Otro hallazgo en el análisis, es encontrado en el documento de ^{Mayer (2015)}, donde coinciden en el nivel dos de conceptos y razonamientos la justicia distributiva para el campo conceptual y cómo calcular los derechos de los interesados en un juego interrumpido en el campo procedimental. Se identifica un contexto no matemático donde la situación es el juego interrumpido y, como fenómeno, se tiene el problema de la división justa (Tabla 4).

Sin duda, el juego de dados toma un papel muy importante en este desarrollo histórico. A partir de las situaciones que surgían en el juego, se planeaban preguntas que en ese momento carecían de respuesta y donde iba de por medio la ganancia. Como un gran contemporáneo de Fermat y Pascal, Galileo Galilei plantea una situación, pero ahora con el lanzamiento de tres dados, situación encontrada en un fragmento de ^{Mateos y Morales (2002)}, en un contexto no matemático. Se registró un nuevo término, el orden, y un resultado en el campo conceptual que consistía en mismo número de casos favorables a 9 o 10. Una destreza en el campo procedimental fue determinar los casos favorables al 9 9 (126, 135, 144, 225, 234, 333) y, del siguiente modo, los casos favorables al 10 (136, 145, 226, 235, 244, 343) (Tabla 5).

En el mismo documento, en otro fragmento, los autores continúan con la misma situación en un contexto no matemático que es el uso de dados. En el nivel dos del campo conceptual, se identifican como conceptos: combinación; casos posibles y número de casos posibles (VR_6,3 = 6³ = 216); casos favorables; orden; y resultados aleatorios.

Se destaca en el campo procedimental en el nivel uno como destreza los casos favorables al 9 y al 10. Los casos favorables al 9 serían la combinación 126 y en cualquier otro orden son P₃ = 3! = 6 casos favorables. En total, son 6+6+6+3+3+1=25 casos favorables al 9. De la misma forma, calculó los casos favorables al 10, cambiando el orden de cada combinación distinta.

Las ideas de Pascal fueron retomadas por Huygens en 1967, fragmento encontrado en ^{Hacking (1975)}, en donde se detectó en el campo procedimental en el nivel dos un razonamiento probabilístico (Tabla 6), que conduce a la primera estructura conceptual denominada teoría de la decisión. Anteriormente, se había observado, en las lecturas, que no se lograba alcanzar o concretizar el nivel de las estructuras conceptuales. Se puede inferir que se debía a que la idea de probabilidad no estaba pensada como una ciencia sino, más bien solo se pensaba en resolver situaciones relativas a tomar la ventaja en un juego de azar para obtener una ganancia.

Implicaciones

Los significados de referencia en la historia de la estadística son importantes para organizar el conocimiento, que surge del principal referente base encontrado en este estudio: los juegos de azar. A través de los diferentes significados encontrados, se puede ahondar en investigación que soporte los diferentes tipos de currículum en el área de probabilidad.

Además, este tipo de estudios coadyuvará en lo expuesto por ^{Begué et al. (2017)} sobre asegurar que los alumnos comprendan los diferentes enfoques de probabilidad, además de ayudarles a corregir posibles sesgos en su razonamiento que les dificulten poner en relación los diversos significados de la probabilidad.

Los significados de referencia encontrados toman sentido en el contexto de los juegos de azar, que deben estar presentes en el currículum desde el nivel preescolar, cuando los estudiantes desarrollan una intuición nata que los llevará posteriormente a formalizar un razonamiento probabilístico.