1 Introdução

O Movimento da Matemática constitui-se em uma temática que vem sendo amplamente pesquisada no campo da História da Educação Matemática Brasileira, a exemplo dos estudos de ^{Búrigo (1989)}; ^{Soares (2001)}; ^{Matos; Valente (2007)}; ^{Oliveira; Leme da Silva (2011)}, dentre outros. No entanto, ainda é preciso avançar em pesquisas que busquem compreender como as ideias deste movimento circularam nos diferentes estados do Brasil, por que meios e processos os professores foram tendo acesso e se apropriaram das ideias e abordagens metodológicas do movimento. Zoltan Dienes foi um dos principais divulgadores da matemática moderna, suas obras, direcionadas para professores do ensino primário, foram divulgadas pelo Grupo de Estudos do Ensino da Matemática de São Paulo (GEEM), e chegaram ao Rio Grande do Sul por intermédio do Grupo de Estudos sobre o Ensino de Matemática de Porto Alegre¹ (GEEMPA). Neste artigo, apresentamos o estudo que investigou a presença de Dienes em Porto Alegre, mais precisamente as ações desenvolvidas por Dienes diretamente com professores, por meio de cursos e eventos que tinham o intuito de divulgar suas ideias e abordagens sobre “os modos de ensinar” a moderna matemática.

Para o desenvolvimento da investigação, situada no campo da História da Educação Matemática, fizemos uso de jornais de circulação local, documentos escritos e fotografias localizados no acervo do GEEMPA e do Laboratório de Matemática (LM) do Instituto de Educação General Flores da Cunha², além de uma entrevista com a professora Esther Pillar Grossi, fundadora e coordenadora do GEEMPA.

O trabalho com as fontes requer um exercício de diálogo entre passado e presente. Mais do que um movimento de revistar o passado por meio das marcas e registros, que ficaram nos documentos históricos, é o olhar do tempo presente que direciona a construção da análise sobre o passado. Como nos coloca ^{Certeau (2002, p. 46)} “fundada sobre o corte entre um passado, que é seu objeto, e um presente, que é lugar de sua prática, a história não para de encontrar o presente no seu objeto, e o passado, nas suas práticas”. Neste sentido, o diálogo com as fontes é permeado pelos modos como vemos e pensamos o Movimento da Matemática Moderna hoje, bem como, a relevância do trabalho realizado por Dienes à época, suas implicações e marcas no ensino primário.

Na perspectiva do paradigma indiciário de Carlo Guinzurg (1992) nos propusemos a localizar documentos e constituir fontes, que pelos indícios, rastros e sinais contidos nas escritas ou nas fotografias, nos possibilitassem conhecer elementos da presença de Dienes em Porto Alegre e pensar sobre o contexto que o levou a esta cidade, suas intenções e as expectativas de quem com ele conviveu.

As memórias da professora Esther Pillar Grossi, testemunha de várias ações de Dienes em Porto Alegre e entrevistada para este trabalho, também se constituíram em fontes importantes, pois,

Cada indivíduo, particularmente nos tempos e sociedades modernas, extrai memórias de uma variedade de grupos e as organiza de forma idiossincrática. Como todas as atividades humanas, a memória é social e pode ser compartilhada (razão pela qual cada indivíduo tem algo a contribuir para a história “social”)

(^{PORTELLI, 2006}, p. 127).

As vivências da professora Esther, relatadas na entrevista, subsidiam nosso olhar para os anos 1970 e trazem elementos da rotina, dos bastidores dos cursos de formação e das discussões que permeavam o grupo de professores que trabalhou com Dienes e dedicou-se a estudar sua teoria.

2 Zoltan Paul Dienes e as seis etapas do processo de aprendizagem na matemática

Zoltan Paul Dienes (Zoltán Pál Dienes) nasceu em 1916, em Budapeste, Hungria e faleceu em 11 de janeiro de 2014 aos 97 anos. Filho de Pál Dienes, um conhecido professor de matemática que, depois de algumas fugas, fixa residência na Inglaterra após a queda da República e de Soviética da Hungria e, de Valeria Dienes, filósofa, coreógrafa, professora de dança e criadora da teoria da dança orkesztika (orquestra). Devido ao divórcio de seus pais, foi morar com sua mãe e seu irmão em Nice, na França e fez os estudos primários. Aos 15 anos mudou-se para o Reino Unido onde se doutorou em Matemática e Psicologia. Casa-se com Tessa Cooke, em 1938 e com ela teve cinco filhos. Atuou como professor nas Universidades de Southampton, Sheffield, Manchester e Leicester, na Inglaterra, e professor de psicologia na Universidade em Adelaide, Austrália, de 1961 a 1966. Imigra para o Canadá em 1966. Foi diretor do Centre de Recherche en Psychomathématiques- Université de Sherbrooke, em Quebec, até 1975. Dienes viajou pela Europa, Austrália, América do Sul e na selva da Papua Nova Guiné, dando palestras, cursos e assessorias para professores, foi o autor de vários livros, artigos e materiais didáticos (^{SRIRAMAN; LESH, 2007}).

O Editorial do conjunto de artigos intitulado Mathematics Education and the Legacy of Zoltan Paul Dienes, publicado em 2008 por Bharath Sriraman, da Universidade de Montana, nos Estados Unidos, “aponta Dienes como uma lenda viva no campo da educação matemática, por seu trabalho pioneiro que se estende por 50 anos e por ter influenciado educadores matemáticos que entraram no campo no final dos anos 1960 e 1970 e permanecem clássicos até hoje” (^{SOARES; PINTO, 2014}, p. 76).

O jornal Zero Hora, no dia 18 de fevereiro, em uma nota de obituário de Dienes enfatizou:

Ele captou a arte e a estética desta ciência e sua paixão foi compartilhada tanto por professores como por crianças. Intrigado e comprometido com as dificuldades que as pessoas encontravam para aprender matemática, queria que outros descobrissem a beleza que há nesta ciência.

(ZERO HORA, 18 de fevereiro de 2014).

A importância de Dienes para o Movimento da Matemática Moderna se deu de forma a expandir as ideias do movimento nos diferentes níveis de ensino. Além disso, ele ficou internacionalmente conhecido por defender uma metodologia de ensino que valorizava o uso de materiais didáticos, tais como os Blocos Lógicos e os Blocos Multibásicos, com a intenção de criar situações de aprendizagem de conceitos matemáticos às crianças. Para Dienes, as crianças pequenas também deveriam aprender a “moderna matemática”. Na introdução do livro A Matemática Moderna no Ensino Primário, nos coloca:

Procura este livro mostrar como se pode ensinar a criança a Matemática “moderna”; espero, com ele, convencer alguns (pelo menos) educadores de que a atual renovação do ensino de Matemática deve iniciar-se logo no jardim-de-infância, ocasião em que essa renovação será mais eficaz, porquanto se proporão às crianças experiências aliciantes e se despertará nelas o gosto pelas atividades matemáticas. Não se trata, evidentemente, de “burlar o raciocínio”, falseando o pensamento matemático “moderno”, mas sim de apresentar este de forma perfeitamente adequada às capacidades de cada idade.

(^{DIENES, 1967}, p. 9).

Dienes defendia que o aprendizado da Matemática, pelas crianças, se dá por meio de seis etapas, explicitadas na obra Les six étapes du processus d’apprentissage en mathématique, publicada originalmente em Paris, em 1967, tendo sido traduzida e lançada pela primeira vez no Brasil em 1972 e que, em síntese, seriam:

A ideia de jogo apresentada por Dienes aproxima-se da de Piaget, que vê o jogo como uma atividade intrínseca da criança, fruto da evolução psicogenética, necessária para que aconteça o processo de assimilação.

Tais etapas, no entanto, segundo a fala da professora Esther em entrevista, seriam, posteriormente, refutadas por Dienes, “assisti Dienes afirmando em alto e bom som na Itália que os seis passos da aprendizagem em matemática não tinham consistência teórica” (^{GROSSI, 2014}). Neste sentido, ao analisar os documentos manuscritos, datilografados e mimeografados localizadas no acervo do GEEMPA e as obras de Dienes consultadas, verifica-se o já ponderado por Esther “Dienes repetia a maneira convencional de desenvolver a aprendizagem da matemática, tendo como fim das referidas aprendizagens a formalização axiomática e o apoio na lógica dos conteúdos ensinados” (^{GROSSI, 2005}, p. 14). Sendo assim, verifica-se que o foco não estava no processo de aprendizagem, mas nos conteúdos matemáticos que precisavam ser aprendidos.

Tal teoria já não seria mais considerada tão inovadora anos mais tarde, até mesmo por seu autor, no entanto, as ideias de Dienes, em especial os trabalhos com blocos lógicos contribuíram para que o ensino de matemática passasse por mudanças ao longo dos anos 1970 e, até hoje encontramos, indícios e marcas, a exemplo da presença dos blocos lógicos e materiais multibase nas escolas.

3 As Jornadas de Estudo e Aprendizagem da Matemática de 1972 e 1973

As ideias de Dienes começaram a ser divulgadas no Brasil em 1970, por meio das professoras Lucília Bachara e Manhúcia Liberman. Dienes veio ao Brasil pela primeira vez em 1971 a convite do GEEM (^{BÚRIGO, 1989}), ocasião em que alguns participantes do GEEMPA o conheceram.

Em 1972 o GEEMPA, por meio da professora Esther Pillar Grossi, convidou Dienes para coordenar a I Jornada de Estudos sobre a Aprendizagem da Matemática em Porto Alegre, que aconteceu de 27 de julho a 9 de agosto. Em 1973, Dienes retorna para a II Jornada de Estudos sobre a Aprendizagem da Matemática, que aconteceu de 17 a 30 de agosto. Segundo ^{Burigo (1989)} em 1978, o GEEMPA ainda organizaria sua VII Jornada sobre Aprendizagem de Matemática com Dienes, com uma participação expressiva de professores. Todavia, Dienes teria vindo a partir desta primeira vez, em 1972, “mais quatro vezes em nossa cidade, realizando um programa sequencial de formação de professores e de assessoramento às investigações nas quais o GEEMPA se engajou, inspirado pelas iniciativas do ISGML³” (^{GEEMPA, 2000}, s.p). Foram localizadas notícias de jornais anunciando a vinda de Dienes para Porto Alegre nos anos de 1972,1973, 1974 e 1975 (^{MACEDO, 2012}).

Neste momento, nos deteremos em apresentar e discutir as Jornadas de Estudo e Aprendizagem da Matemática ocorridas em 1972 e 1973.

O evento de 1972 foi amplamente divulgado pela imprensa local. Dienes foi convidado a dar uma entrevista coletiva aos jornais de Porto Alegre. Um recorte, Figura 1, sobre esta entrevista consta no livro de 30 anos do GEEMPA. Nesta entrevista Dienes enfatiza que as escolas europeias estão seguindo as teorias de Piaget e que esta nova escola, pode incomodar os adultos pois, “deixa plena iniciativa às crianças” para descobrirem as respostas. O processo de descoberta é repetido diversas vezes no texto, o que nos faz pensar sobre a ênfase que Dienes dava a descoberta do aluno como consequência de uma série de operações e relações construídas a partir do manuseio de materiais e a realização das atividades que seriam ensinadas aos professores durante o evento.

Fonte: GEEMPA 30 anos, 2000

Figura 1 Dienes na I Jornada de Estudo e Aprendizagem da Matemática 

O jornal Folha da Tarde de 27 de julho de 1972 traz uma reportagem com o título “Este professor ensina matemática brincando” fazendo referência ao método proposto por Dienes. Segundo a reportagem

O professor Dienes também faz questão de encher as salas em que ele dá aulas, de matéria concreta e colorida. Dentro de sua pasta está a amostra do material que ele costuma usar: chapas plásticas, de formas diferentes, com buraquinhos coloridos, vermelhos, azuis, verdes, amarelas. Brincando com as chapas os alunos descobrem que uma tem relação com a outra e acabam se dando conta das relações matemáticas existentes. Através de jogos, aprendem a somar, diminuir, dividir e multiplicar. Não ficam mais horas a fio, de lápis na mão, lidando com números complicados. Não precisam nem decorar a tabuada. Aprendem a multiplicar, construindo um grande triângulo com pequenos triângulos. Há uma hierarquia dentro da aprendizagem. O aluno passa por diversas etapas para chegar do raciocínio concreto ao raciocínio abstrato. A avalição do trabalho do aluno não é difícil de fazer. Se ele não consegue vencer um problema é porque há uma etapa anterior que ainda não foi vencida. O importante, é que o aluno tem o material necessário a sua disposição, na sala de aula, e pode tomar a iniciativa de fazer o que deseja.

(^{FOLHA DA TARDE, 27 de julho de 1972}).

Com o título “A matemática levanta a poeira de séculos”, também o jornal Diário de Notícias, nesse mesmo dia, traz uma reportagem sobre Dienes. Neste texto, novamente. é ressaltado o método proposto por Dienes, que valoriza a descoberta e o uso de materiais diversos em um ambiente adequado, de modo a ter-se uma aprendizagem da “matemática viva”. Segundo a reportagem, as pesquisas desenvolvidas por Dienes evidenciavam que existiria uma universalidade do raciocínio lógico.

(...) não há diferença de raciocínio lógico entre uma criança e outra, o que permitiria este tipo de ensino em qualquer parte da Terra. Experiências em vários países, em condições econômicas e culturais diversas, comprovam isso. Dentro de tais condições positivas, desenvolvem-se os estudos de Zoltan Dienes, baseados no comportamento da mente humana, buscando tornar a matemática realmente compreensiva e, assim auxiliar no aprendizado de outras disciplinas que devem tomar emprestadas as soluções que esta ciência oferece.

(DIÁRIO DE NOTÍCIAS, 27 de julho de 1972).

Nesta perspectiva, Dienes realizava uma série de estudos e experimentos em Adelaide (Austrália), Papua (Nova Guiné), Leicesterhire (Inglaterra) e Massachusetts (E.U.A) e trabalhava com diferentes grupos de professores.

3.1 As aulas-demonstração

Dienes tinha clareza sobre o papel do professor. Para que a aprendizagem acontecesse o professor de matemática precisaria estar preparado para desenvolver as atividades em sala de aula e, para isso, era necessário compreender o significado da arquitetura matemática contida em seu projeto, nessa perspectiva chamava atenção para a necessidade de um Programa de Treinamento de Professores na introdução da terceira edição do livro Aprendizado Moderno da Matemática (^{DIENES, 1970}).

Acreditamos que a vinda para o Brasil, inicialmente por solicitação do GEEM⁴ e na sequência do GEEMPA esteja relacionada à preocupação manifesta por Dienes com a formação de professores. Nesse sentido, as atividades que desenvolvia com os docentes em seus cursos e palestras tinham a intencionalidade de “preparar o professor” para a aplicação das sequências didáticas elaborados por ele e sua equipe. É interessante observar que, de acordo com o que nos relatou a professora Esther Pillar Grossi, Dienes não trazia prontas as palestras ou atividades que iria desenvolver, ele construía o segundo encontro a partir do que acontecia no primeiro e assim por diante.

Pela manhã realizava atividades com grupos menores de professores e a tarde ministrava palestras para muitas pessoas.

E depois de noite ele ia verificar os materiais que tinha que fazer, planejar e a gente trabalhava a noite toda preparando material para ele. Não pense que ele chegou no primeiro dia e fez uma programação para todo o tempo. Ele, cada dia tinha uma inspiração e pedia o material, no máximo de um dia para outro. E a gente deu conta, nós fazíamos o material. Era impressionante a energia dele, nos dividíamos em três grupos, um por turno para dar conta do Dienes.

(^{GROSSI, 2014}).

O recorte da Figura 2, localizado em um polígrafo de aula da II Jornada de Estudos sobre a Aprendizagem da Matemática, localizado no acervo do GEEMPA, apresenta algumas anotações, que segundo a professora Esther seriam de Dienes, no processo de organização e planejamento das atividades que aconteceriam de 17 a 23 de agosto de 1973, no anfiteatro do Hospital de Clinicas de Porto Alegre, com um grupo de 300 professores.

Fonte: Acervo do GEEMPA (AG 000.1/73).

Figura 2 Anotações de Dienes 

Os planejamentos (localizados no acervo do Laboratório de Matemática do Instituto de Educação) e algumas fotografias (inseridas no livro dos 30 anos do GEEMPA) nos possibilitaram identificar uma prática interessante de Dienes. Em suas palestras, que eram chamadas pela imprensa local e pelo GEEMPA de aulas-demonstração, solicitava a presença de crianças que eram organizadas em grupos e que desenvolviam atividades, sob sua orientação, e com o auxílio de professores e professoras do GEEMPA, de certo modo, simulando uma situação de sala de aula.

A figura 3 traz o esboço da organização do ambiente da aula-demonstração do dia 31 de julho de 1972 durante a I Jornada de Estudos sobre a Aprendizagem da Matemática. Este esquema gráfico mostra que o espaço da quadra do Colégio Rosário seria organizado em quatro ambientes simultâneos e que as crianças estariam distribuídas entre estes ambientes realizando as atividades sob orientação de Dienes e professores assistentes.

Fonte: Acervo do Laboratório de Matemática do IE

Figura 3 Representação gráfica dos ambientes na quadra do Colégio Rosário 

As fotografias nas Figuras 4 e 5, registraram Dienes transitando por entre os ambientes, orientando as crianças e, com o auxílio do microfone, apresentando as atividades, seus objetivos e potencialidades, para os professores. As crianças participantes eram selecionadas pelas escolas, por solicitação do GEEMPA, via anúncio nos jornais de Porto Alegre. As idades e a série escolar variavam conforme a solicitação de Dienes. Localizamos referência às escolas: Instituto de Educação João XXIII, Colégio Israelita, Instituto de Educação Flores da Cunha, Grupo Escolar Dona Leopoldina, Grupo Escolar Pacheco Prates, dentre outras. Ao fundo, acompanhando atentamente as ações das crianças, identificamos os professores sentados nas arquibancadas. Pelos dados levantados, cerca de 1000 pessoas participaram das aulas-demonstração no ginásio de esportes do Colégio Rosário em 1972.

Fonte: ^{GEEMPA, 2000}.

Figura 4 Dienes em uma aula-demonstração no Ginásio de Esportes do Colégio Rosário em 1972. 

Fonte:^{GEEMPA, 2000}.

Figura 5 Crianças desenvolvendo atividades no ginásio de esportes do Colégio Rosário em 1972. 

As atividades realizadas foram planejadas no dia anterior, escritas em francês e transcritas por professores que o auxiliavam, de modo a serem distribuídas aos participantes. O excerto de um destes textos traduzidos está na Figura 6 e podemos observar o modo como Dienes dialoga com os professores e professoras do GEEMPA.

Fonte: Acervo do Laboratório de Matemática do Instituto de Educação Flores da Cunha

Figura 6 Tradução de notas de Dienes em 1972 

3.2 Encontros de Estudos

Além das aulas-demonstração, Dienes, durante as Jornadas de Estudos sobre a Aprendizagem da Matemática, também ministrou cursos, chamados de Encontros de Estudo, para grupos menores de professores, que aconteceram no Instituto de Matemática da UFRGS, na época localizado no campus centro, na rua Sarmento Leite, 425. Em tais encontros eram abordados conteúdos matemáticos e procedimentos didáticos, como podemos observar pelo documento da Figura 7, localizado no acervo do GEEMPA, que nos dá indícios de como foi a Programação do evento em 1973.

Fonte: Acervo do GEEMPA

Figura 7 Programação da II Jornada de Estudos sobre a Aprendizagem da Matemática em 1973 

Os eventos eram pagos pelos professores que precisavam fazer as inscrições com antecedência. Participavam professores de várias cidades do Rio Grande do Sul, mas também vinham professores de outros estados. Dentre os conteúdos trabalhados destaca-se: lógica, topologia, conjuntos, relações e funções, conjuntos numéricos e geometria pelas transformações, conteúdos característicos do Movimento da Matemática Moderna, que estava no seu auge no início dos anos 1970.

As atividades eram planejadas a partir de “fichas de trabalho” que direcionariam os estudos. Como exemplo, trazemos a Ficha de número 7, na Figura 8, que foi trabalhada em 1973.

Fonte: Acervo GEEMPA

Figura 8 Ficha 7 

Esta ficha de trabalho, bem como outras analisadas, nos dá indícios sobre como aconteciam os encontros de estudo com os professores. Verificamos um direcionamento durante toda a atividade e que o texto da ficha, de certo modo, dialoga com o professor, que vai sendo conduzido no processo de descoberta. Nesse sentido, reforça a compreensão de Dienes sobre a liberdade do aluno, no caso, do professor em formação, quando nos coloca que “o papel do educador é dar à criança uma liberdade de escolha por meio da qual, qualquer que seja sua escolha, haverá aprendizagem de Matemática” (^{DIENES, 1970}, p. 10).

Dienes nos apresenta um ensino que abre poucas possibilidades para o inusitado, pois todas as atividades são cuidadosamente dirigidas. Além disso, enfatiza a necessidade de um ambiente adequado e rico em objetos, bem como de atividades planejadas, produtos de um refinamento didático. Observa-se que havia uma preocupação com a formalização dos conteúdos e conceitos estudados, inclusive com relação a terminologia e linguagem matemática, além disso, os estudos no campo algébrico eram densos, como podemos observar na Ficha de atividades na Figura 9.

Fonte: Acervo do GEEMPA

Figura 9 Ficha 

Dienes defendia que o estudo dos conjuntos com as crianças deve ser iniciado no nível concreto com o uso de jogos, cartões, blocos lógicos, brinquedos e gradativamente ser apresentado a ideia “ingênua” de conjuntos como coleção de objetos particulares.

Além disso,

Dienes defende o estudo de grupo no nível elementar e diz que é possível o estudo do grupo de Klein nesta fase, desde que não fale no termo grupo de Klein e nem na definição formal de grupo para as crianças. O importante é propor atividades em que encarnem a estrutura matemática do grupo de Klein

(^{MACEDO, 2012}, p. 116).

A preocupação com o estudo dos conjuntos aproxima as ideias de Dienes às de Felix Klein no Programa de Erlanger (1872) que, por sua vez, examina a evolução do conceito de Geometria e propõe unificar as diferentes teorias geométricas recorrendo ao conceito de grupo de simetria. Neste sentido “Klein apresenta uma análise das relações entre propriedades projetivas e propriedades métricas das figuras, e é em torno da noção de grupo das transformações que ele se constitui” (^{DALCIN, PIRES, 2018}, p.784).

Para Dienes, sendo a matemática caracterizada por estruturas, é importante expor os alunos a essas estruturas o mais cedo possível. Isso não significa dizer a eles diretamente o que essas estruturas são, mas sim criar situações com jogos matemáticos e outros materiais estruturados de modo a potencializar o aprendizado, descobrir e entender essas estruturas (^{SRIRAMAN; LESH, 2007}). Nesta perspectiva é que eram elaboradas e exploradas as atividades com os professores, que posteriormente seriam aplicadas com as crianças em sala de aula.