Etapa de resolução nos grupos

O problema apresentado anteriormente estava estruturado em sete questionamentos (parte 1 e parte 2). A questão (a) solicitava que os estudantes respondessem qual das figuras (trapézios ou retângulos) deveria ser usada para calcular a área da região, buscando se aproximar o máximo possível do seu valor exato. Ressalta-se que essas figuras não deveriam ocupar áreas externas à região sombreada na imagem. A Figura 3 ilustra as construções feitas por alguns dos grupos para atender à questão proposta.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 3 Processo de construção da questão a 

Os recursos computacionais utilizados para a discussão nos grupos foram o Microsoft Paint (GM6) e a Ferramenta de Captura do Windows (GN2). Vale ressaltar que a determinação da altura foi baseada no eixo das abscissas para alguns e como uma medida constante nas ordenadas para outros, o que gerou discussões entre os estudantes, conforme evidenciado na transcrição do grupo GN1:

(E21 falando): Pessoal, será que estamos fazendo certo, porque vejam bem, vou reler a questão: ‘cobrir o máximo possível da área usando retângulos e trapézios, sendo que os retângulos e trapézios usados devem ter todos a mesma altura’. Então acho que está errado.

(E19 falando): Mas será que o trapézio tem que ter a mesma altura do retângulo, ou será que todos os retângulos têm que ter a mesma altura e todos os trapézios também têm que ter a mesma altura?

(E21 falando): Acho que é a segunda opção, mas não está errado, as nossas figuras estão ficando com a mesma altura, pois ela está sendo considerada de 0,5 em 0,5cm.

(E20 falando): Ah, verdade, a altura é baseada no eixo x e não no eixo y.

(E21 falando): Certo, agora entendi, é que eu estava confundindo a altura com a largura das figuras.

A discussão apresentada por esse grupo, que também ocorreu em outros, é importante ser incentivada na plenária, a fim de explorar hipóteses sobre qual critério adotar na comparação entre trapézios e retângulos, qual referencial considerar para a altura, entre outros aspectos que levam à generalização.

O grupo GN1 explorou a criação de um critério de comparação entre retângulos e trapézios, estabelecendo regularidades em relação à medida utilizada no eixo das abscissas. Essa abordagem é evidenciada na fala do estudante E20, que debateu a construção em andamento no grupo, conforme apresentados na Figura 4 e na próxima transcrição.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 4 Processo de construção do método realizado pelo GN1 

(E20 falando): Não estou entendo o que você está fazendo. Não teríamos que dispor esses retângulos com uma altura padronizada?

(E19 falando): O que precisamos fazer é preencher uma das figuras com retângulos e a outra com trapézios.

(E20 falando): Sim, mas os nossos retângulos estão sem medidas. Não teria que seguir pelo menos os eixos? Como do 0 ao 0,5, do 0,5 ao 1, do 1 ao 1,5, e assim por diante? (E18 falando): Verdade, pois senão teremos vários retângulos sem nenhum padrão e não conseguiríamos comparar os métodos depois.

(E21 falando): Sim, a E20 tem razão, precisamos criar um padrão, pois precisaremos comparar depois se o método dos retângulos ou dos trapézios é mais eficiente.

Essa discussão destaca a importância do trabalho em grupo, no qual os estudantes colaboram na construção conjunta da solução do problema, aprendendo por meio das interações entre eles, negociando e alcançando uma compreensão compartilhada (^{Cai, Lester, 2012}). Nesse contexto, é relevante ressaltar que o uso da tecnologia também possibilitou essa construção coletiva, visto que mais de um usuário manipulava a construção simultaneamente, utilizando a ferramenta de controle de acesso fornecida pelo Teams, conforme ilustrado na Figura 5.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 5 Construção de retângulos e trapézios realizada pelo GN1 

Na Figura 5, é possível verificar que dois estudantes estão trabalhando simultaneamente no Microsoft Paint para construir a solução, e cada usuário é identificado pela sua foto, que acompanha o cursor do mouse.

Durante as discussões, todas as equipes destacaram a necessidade de utilizar retângulos e trapézios cada vez menores para cobrir a área com mais eficiência. O estudante E25 do GN2 afirma: “Percebam que agora nós já ocupamos um pouco mais de espaço na figura. Agora, se nós dividíssemos as partes não preenchidas por retângulos menores ainda, iríamos ocupando cada vez mais. Se fizermos infinitos, ocuparemos toda a região”.

Essas discussões da questão (a) já apontavam para as conclusões da questão (b), que solicitava que os estudantes criassem um método para calcular a área de uma região, que pudesse ser utilizado em outras situações, e a questão (c), que questionava como o erro do método proposto poderia ser minimizado.

Alguns grupos indicaram que o cálculo de integral definida poderia ser utilizado para determinar a área, enquanto outros sugeriram que o melhor método é usar trapézios, descrevendo o processo. O grupo GM12 descreve o processo usando um exemplo, mas não consegue sistematizar uma generalização, como retrata a transcrição da fala de E15, que utiliza uma planilha de Excel para realizar e justificar os cálculos, ilustrada na Figura 6.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 6 Processo de construção da questão c (GM12) 

(E15 falando): Se você acompanhar pela foto, podemos dividir parte dos retângulos com altura de 0,1 décimo (se referiu ao eixo y), com 0,5 décimo (eixo x). Multiplicando um pelo outro temos os valores individuais de cada retângulo. Aí contei quantos se comportam da mesma forma. Na parte em cima do gráfico fui dividindo-os com uma base menor até chegar no valor da área total aproximada somando todas as subáreas.

Nas questões subsequentes (d) e (e), que estão incluídas na segunda parte do problema, são apresentados dois gráficos, bem como são fornecidas as expressões algébricas das funções. Destaca-se que apenas a primeira função é passível de ser integrada analiticamente. O propósito dessa abordagem é permitir que os grupos validem e reflitam sobre as proposições realizadas, conforme evidenciado na Figura 7.

Fonte: ^{Bertotti Junior (2021}, p. 147)

Figura 7 Como podemos calcular a área de uma região? (parte 2 - questões (d) e (e)) 

Na resolução dessas questões, é interessante destacar o trabalho realizado pela equipe GM1, em que o estudante E1 comentou que o único método viável para calcular a questão (d) seria por meio de integração, pois não era possível calcular com trapézios devido à falta de valores de y fornecidos. No entanto, era possível sim, uma vez que a expressão algébrica da função foi fornecida, e a escala do eixo x também. O E1 resolveu o problema enquanto compartilhava sua tela para demonstrar suas ações, e os demais integrantes o acompanhavam sem questionar, conforme parte da transcrição das discussões do grupo.

E1: Vocês conseguem calcular essa questão por integração enquanto eu resolvo as outras questões?

E2: Então, eu não lembro como faz integração.

E1: É o cálculo de uma integral definida. Você vai precisar integrar a função colocando os limites de 0 a 0,8. Entendeu?

E2: Sim, vou tentar.

(A E2 teve dificuldades em resolver a integral, pois não se recordava das técnicas de integração. Assim, a E3 ajudou nesse processo respondendo:

E3: Nessa função você aumenta um grau do x no numerador e no denominador repete o procedimento e a constante sai para fora da integral.

E2: Lembrei, precisa ver naquelas tabelas qual a integral de x^".

E3: Isso mesmo.

(Assim, conseguiram finalizar essa questão).

Alguns grupos resolveram a questão (d) usando integral definida, enquanto outros também usaram o método criado por eles comparando os resultados, como mostra a transcrição do grupo GM12.

E15: A questão d não é difícil, podemos resolver ela integrando a função. Se bem que o limite no eixo x passa um pouco de 0,8. Vamos considerar quanto?

E16: Sim, ela passa um pouquinho do risquinho do valor de 0,8. Mas é muito pouco, não tem como saber quanto vale esse pouco.

E15: Então consideramos os limites de 0 até 0,8?

E16: Sim.

E16: Quanto deu o resultado de vocês?

E15: Deu 1,6416 u.a. Eu coloquei a integral em um programinha que tenho aqui para confirmar o resultado também e deu certo.

E17: Eu não entendi, como vocês fizeram? (O estudante não se recordava como resolvida integral)

E15: Nós podemos resolver dividindo a função por partes. Faz como cada termo da função sendo uma integral, entende? Por exemplo, para 0,2 dx, temos uma resultante de 0,2x, para 25x dx temos uma resultante de 25x²/2 e assim por diante. Aí no final, depois de integrarmos cada termo, substituímos os limites e somamos tudo para obter a área. Você também fez assim E16?

E16: Sim, só pensei nessa possibilidade também.

E17: Entendi, agora com você falando lembrei como faz.

Nessa metodologia, percebe-se a importância do trabalho em grupo, uma vez que se um estudante não compreende um questionamento, o outro colega consegue, na maioria das vezes, elucidar essa dúvida para prosseguirem na questão. Quando trabalham sozinhos, nem sempre possuem essa oportunidade e “ [...] embora aprender seja um processo reflexivo e interno, os estudantes podem testar, explorar, modificar e, assim, desenvolver novas ideias pela interação com os outros alunos e com o professor (^{Van de Walle, 2009}, p. 54).”

Nessa questão os estudantes apresentaram dúvidas conceituais, como: “[...] para obtermos a área dessa região precisamos integrar ou derivar?”, conforme mostra a transcrição do grupo GN6.

E31: Acho que precisamos integrar.

E32: Eu estou procurando no caderno de Cálculo 2 o que precisamos fazer para obter a área de uma função.

E33: Mas se for por integral, como vamos fazer se não temos os limites? E34: Mas acredito que não precisa ter limites; E33: Como não precisa de limites?

E34: Você não se lembra que nas aulas de Cálculo começamos aprendendo integrais que não possuíam limites nelas? [O estudante se referiu às integrais indefinidas] E33: Mas a área é delimitada por um limite.

E34: E como vamos achar esses limites?

E33: Acredito que o limite seja de 0 até 0,8, olhando para o eixo x.

E32: Acho que não, pois me parece que a linha da função não começa no zero. E33: E se nós derivássemos essa função várias vezes até chegarmos a um valor constante, esse não seria o valor da área?

E34: Pode ser que sim, a gente já fez isso nas aulas de cálculo, em que precisávamos derivar várias vezes uma função, mas não lembro para que fazíamos isso.

Nesse momento, o E31 escreve no chat que, para ele, não ficou claro como chegar a um valor de área por meio de uma derivada, conforme transcrição na Figura 8.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 8 Discussão na resolução da questão (d) 

E31: Eu também acho que deu um valor muito alto, será que é isso mesmo?

E33: Pois é, também não tenho certeza se é desse modo que faz.

Assim, preferiram resolver essa questão por métodos numéricos, utilizando retângulos, por não terem certeza se o cálculo de área é realizado por meio de derivada ou integral (erros conceituais).

Na discussão da questão (e), os grupos também tentaram resolver usando integração definida e integração por partes, mas perceberam que não seria possível. Alguns grupos consultaram o caderno da disciplina de Cálculo 2, enquanto outros confirmaram suas conclusões em softwares. Ao constatar a impossibilidade de uma resolução analítica, os grupos retornavam para o método proposto na questão (b) e discutiam aspectos que não haviam verificado na abordagem inicial, como evidencia a fala de E15 do grupo GM12.

E15: Exato, então podemos resolver do seguinte modo: a altura do trapézio seria a unidade mínima identificada no eixo x, de 0,1. Então teríamos, desse modo, 4 trapézios no total com essa altura. E para encontrarmos os valores das bases, teríamos que substituir o valor de x na função, aí encontramos os valores de y.

O grupo GN2, em vez de substituir os valores de x na função para encontrar os valores de y, utilizou o GeoGebra para discussão e coleta de valores, ou seja, de maneira visual e gráfica, bem como na contagem dos quadrados contemplados na região. Nesse contexto, destaca-se que “[...] a abordagem visual tem demonstrado facilitar a formulação de conjecturas, refutações, explicações de resultados e sobre comportamentos dos objetos, dando espaço, portanto, à reflexão” (^{Allevato, Jahn, Onuchic, 2017}, p. 250).

Na sequência, os grupos resolveram as questões (f) e (g), conforme apresentadas na Figura 9. A questão (h) foi adicionada a este problema após a sua aplicação.

Fonte: ^{Bertotti Junior (2021}, p. 150)

Figura 9 Como podemos calcular a área de uma região? (parte 2 - questões (f), (g) e (h)) 

Na questão (f), alguns grupos ficaram em dúvida sobre que tipo de revisão estava sendo solicitada, se era em relação à integral definida ou aos formatos geométricos usados, o que demanda uma reformulação dessa questão. Assim, a questão apresentada era: “f) O método proposto precisa ser revisado? Explique. Se precisar de revisão, apresente”. Posteriormente, foi modificada para: “f) O método proposto na questão (b) precisa ser revisado tendo em vista as discussões realizadas em (d) ou (e)? Explique. Se precisar de revisão, apresente”.

Na questão final (g), a generalização foi verificada por alguns grupos que utilizaram a linguagem usual em detrimento da algébrica para descrever suas conclusões, enquanto outros ainda indicaram o cálculo de integral definida como um método a ser utilizado. O grupo GM4 descreveu na discussão a generalização que foi usada por eles, na fala do estudante E5, e o grupo GN2, na fala do estudante E23:

E5: Acredito que como temos vários trapézios dispostos na figura e todas as alturas são iguais, podemos colocar o h/2 em evidência, e então multiplicamos isso pela base maior e pela base menor de cada trapézio. Além disso, quando as bases se repetem, ou seja, uma base se torna a mesma para o outro trapézio, podemos rearranjar a equação para chegar na fórmula geral.

E23: Isso, então podemos denominar a fórmula como sendo n os quadradinhos inteiros multiplicado pela área, e m vexes a área dividido por 2 como sendo os quadradinhos que não contemplavam a região regular da figura. Ou seja, temos n⋅a+m⋅a2 .

O grupo GN3 questionou o pesquisador se era necessário criar um método, uma vez que indicaram que a integral definida poderia ser usada tanto na questão (d) quanto na (e). Em sua intervenção, o pesquisador pediu para que tentassem calcular usando integral, e como conclusão, eles voltaram a revisar o que fizeram e construíram o método apresentado na Figura 10.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 10 Resolução da questão (e) pelo GN3 

Nesse contexto, observa-se que o pesquisador não teve a necessidade de oferecer uma orientação pronta ao grupo, mas apenas estimular a reflexão e a discussão entre eles. Como destacam ^{Pironel e Vallilo (2017}, p. 293), “[...] a interação entre eles é de fundamental importância para a resolução do problema, o professor tem que manter, tanto quanto possível, uma aparente neutralidade intelectual para que sejam evitadas respostas diretas às questões dos estudantes”.

Enfatiza-se que durante essa etapa da resolução, as gravações em áudio e vídeo das discussões entre as equipes se revelaram recursos valiosos para subsidiar a avaliação.

Na sequência, serão discutidas as etapas posteriores à resolução do problema.

Etapas após a resolução

É importante destacar que essa prática educativa foi dividida em duas partes, com a primeira abrangendo as questões de (a) até (c) e a segunda englobando as demais. Ao término de cada parte, foram conduzidas as etapas de plenária, busca de consenso e formalização. Essa segmentação revelou-se importante, pois manteve os estudantes engajados na busca por soluções e proporcionou um aprofundamento mais significativo durante as discussões. Apresentar o problema em uma única vez teria sido limitante devido ao tempo disponível. O Quadro 1 apresenta a quantidade de aulas dedicadas a esse problema.

Nas etapas de plenária e busca de consenso, os grupos chegaram à conclusão de que o método dos trapézios foi mais eficaz do que o método dos retângulos. Durante a plenária, notouse que os estudantes apresentaram registros que facilitaram a exposição de suas argumentações, como evidenciado na transcrição da apresentação do grupo GM4.

E4: Ali na imagem do gráfico a gente preencheu com retângulos e em baixo com trapézios, visualmente a gente já consegue ver que os trapézios são melhores para preencher a área. Na letra A, a gente respondeu que seriam melhores os trapézios, pois existe um grau de maior liberdade para manipular as formas e preencher a área desejada.

Essa fala também pode ser evidenciada por meio da Figura 11.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 11 Resolução do grupo GM4 

O grupo GM7 também apresentou cálculos para justificar sua resposta:

E11: Fazendo os cálculos das áreas dos dois, a gente chegou à seguinte conclusão: que fazendo a área com trapézios é um pouco mais preciso do que com retângulos, porque ele se aproxima mais da linha, não perfeitamente, porque ainda fica uma margem de erro.

A fala apresentada pelo grupo pode ser visualizada na Figura 12.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 12 Resolução do grupo GM7 

O grupo GN2, que criou a fórmula n⋅a+m⋅a2 , também utilizou recursos visuais para defender suas ideias, conforme indicado na Figura 13.

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 13 Resolução do grupo GN2 

É possível observar, a partir das produções escritas dos grupos, que eles se empenharam em defender suas ideias e justificar suas soluções, empregando recursos computacionais para efetuar cálculos, criar imagens e outros registros que sustentaram a discussão durante a plenária. Van de Walle (²⁰⁰⁹, p. 108) destaca a relevância desse procedimento:

Quando os estudantes escrevem, eles podem primeiro parar e pensar. Eles podem incorporar desenhos e simbolismos para ajudar a transmitir suas ideias. Eles podem pesquisar uma ideia ou rever um trabalho relacionado para ajudar a reunir ideias. Todo esse processo forma um pensamento reflexivo muito poderoso e deliberado.

Como encerramento dessa primeira etapa da plenária, durante a formalização, discutiu-se o tipo de trapézio mais eficiente, chegando à conclusão de que seria adequado utilizar trapézios retângulos, com a altura mantida como um valor constante determinado no eixo das abcissas. Vale ressaltar que, nesse caso, a base menor e a base maior nem sempre estão na mesma posição, podendo a base menor estar à direita e a maior à esquerda, dependendo da inclinação da curva.

Após a formalização da primeira parte do problema, a segunda parte acabou se constituindo como a proposição de um novo problema, que teve como intuito a validação e generalização do método. Na etapa da plenária, a partir da Figura 14, é possível verificar que o grupo GN3 aponta na sua solução a relação entre integral definida e numérica como possibilidades de resolução da questão (d).

Fonte: Acervo de pesquisa

Figura 14 Resolução do grupo GN3 

Analisando a Figura 14, observam-se alguns equívocos de notação, tanto na integral definida quanto na fórmula do método dos trapézios proposta pela equipe. Esses erros, presentes também nas falas dos estudantes, não foram questionados pelas demais equipes e tampouco foram destacados pela professora ou pelo pesquisador durante a plenária. A correção adequada da nomenclatura foi registrada na devolutiva do registro fornecido ao grupo e no momento da formalização do conteúdo, uma vez que se prioriza a construção de ideias e a compreensão em detrimento de termos, definições ou simbolismo que são incorporados após a construção dos significados. Nesse sentido, corroboram as ideias de Schoenfeld (2016, p. 2, tradução nossa):

A matemática é um conteúdo vivo que busca compreender os padrões que permeiam o mundo ao nosso redor e a mente dentro de nós. Embora a linguagem da matemática seja baseada em regras que devem ser aprendidas, é importante para a motivação os alunos irem além das regras para serem capazes de expressar coisas na linguagem da matemática. Essa transformação sugere mudanças tanto no conteúdo curricular quanto no estilo de ensino.

Além disso, é importante ressaltar que esses equívocos de simbolismo também servem como evidências de que as ideias são genuínas, originadas das discussões e construções do grupo, uma vez que, quando reproduzidas a partir de livros ou outras fontes de consulta, dificilmente essas falhas ocorrem.

Como formalização da segunda parte, foi apresentada a representação convencional do método dos trapézios, baseando-se nas fórmulas propostas pelos grupos, tanto na linguagem usual quanto na forma algébrica.