1 Introdução

A relação entre o lógico e o histórico⁵ tem figurado, no Brasil, em diversas pesquisas no âmbito da educação e, especificamente, no da educação matemática. Tal assertiva se constata pelo conjunto de artigos que compõem o presente número temático. Como qualquer fenômeno do ser social, a constituição desse conjunto de pesquisas se desenvolve historicamente e possui como um de seus precursores a dissertação de Newton Duarte, intitulada A relação entre o Lógico e o Histórico no Ensino de Matemática Elementar (^{DUARTE, 1987}). O referido trabalho é, dentre aqueles com os quais tivemos contato, uma das primeiras publicações brasileiras que aborda de forma explícita tal relação como um de seus elementos determinantes. Nela o autor parte da hipótese de que a relação entre o lógico e o histórico é fundamental e decisiva para a organização intencional de uma sequência de ensino que busque a apropriação do conhecimento pelos estudantes. Trata-se, segundo pressuposto do autor, de um critério de seleção que busca, na história do conhecimento, etapas consideradas essenciais na evolução do conteúdo matemático que, por sua vez, devem ser reproduzidas na apropriação da sua lógica. A sequência elaborada pelo pesquisador visava “não desvincular a lógica do conteúdo matemático de seu desenvolvimento histórico, sem cair, no entanto, num historicismo que considera como solução para todos os problemas do ensino a reprodução pura e simples da história em sala de aula” (^{DUARTE, 1987}, p. 5). O autor argumenta que essa postura permite a determinação do essencial na evolução histórica dos conceitos a serem ensinados com foco no processo, compreendido como “essência da evolução histórica” (^{DUARTE, 1987}, p. 13). Para a identificação dessas etapas essenciais, é peremptório que o lógico se torne a referência. Nesses termos, objetiva-se a relação entre o lógico e o histórico, na qual:

[...] o lógico reflete o histórico pelo fato de que o lógico formou-se ao longo do processo histórico. O lógico é, portanto, o ponto de partida para o estudo do histórico, na medida em que o lógico reflete as etapas essenciais do processo histórico. Mas esse reflexo não é direto nem imediato, pois, do contrário, seria desnecessário o estudo histórico (^{DUARTE, 1987}, p. 13).

Desse modo, a relação entre o lógico e o histórico é considerada fundamental para organização de uma sequência de ensino que não se reduza a um encadeamento lógico desnudo de conteúdo histórico, nem meramente a uma exposição histórica, mas constitua uma sequência lógico-histórica. A particularidade dessa sequência encontra-se na intenção de que as “etapas do aprendizado” se sucedam “de maneira lógica, reproduzindo as etapas essenciais do processo histórico”. Isso permitiria, segundo o autor, que o estudante tivesse “condições de aprender a matemática enquanto um processo” (^{DUARTE, 1987}, p. 14).

Tais fundamentos teóricos sustentam uma sequência de ensino do sistema de numeração e das quatros operações aritméticas elementares - adição, subtração, multiplicação e divisão - elaborada pelo autor em consonância com as etapas e os fundamentos teóricos expostos.⁶

Desde a publicação do citado trabalho, houve aumento considerável do número de pesquisas em educação matemática no Brasil que se anunciam sustentadas, de algum modo, na relação entre os aspectos lógicos e históricos dos conhecimentos, mais especificamente, dos conceitos. ^{Spacek (2023}) destaca que boa parte delas fundamentam suas interpretações acerca de tal relação em ^{Kopnin (1978}). Para Spacek (²⁰²³), a interpretação kopniniana segue a tradição inaugurada por ^{Engels (1982}, ²⁰¹⁷).

Alternativamente, ao adotar como ponto de partida uma ontologia histórico-social (^{TONET, 2018}), o objetivo do presente artigo é a defesa da existência de uma interpretação da referida relação categorial, no que diz respeito ao processo de organização do ensino, que se sustente em uma concepção ontológica materialista-dialética. Tal interpretação foi encontrada, especialmente, na obra de maturidade de ^{Lukács (2010}, ²⁰¹², ²⁰¹³, ²⁰¹⁷), nossa principal fonte de pesquisa. Nesse sentido, este artigo, oriundo de uma investigação de natureza teórica, visa contribuir com o debate acerca dos princípios teóricos que fundamentam a interpretação e a organização do ensino, em particular do ensino de matemática, amparados em uma ontologia materialista-dialética.

A exposição dos resultados da investigação inicia com a abordagem dos pontos nevrálgicos do debate com base, mas não exclusivamente, na obra de Lukács (²⁰¹², ²⁰¹³). Na sequência, teceremos considerações acerca das possíveis contribuições de tal abordagem para a educação. Por fim, nas considerações finais, resgataremos os principais pontos levantados e apontaremos possibilidades para a organização do ensino engendradas pela presente pesquisa.

2 Uma interpretação da relação entre o lógico e o histórico com base em uma ontologia materialista - dialética

Um dos princípios regentes da leitura ontológica do ser social presente em ^{Lukács (2010}, ²⁰¹², ²⁰¹³, ²⁰¹⁷) é o da referência central do próprio objeto no processo de apropriação da realidade pelo ser humano. Para o autor, tal processo não se baseia em alguma forma ou norma pré-estabelecida que o guiaria e o moldaria. Lukács (²⁰¹²) busca evidenciar essa centralidade para uma correta apreensão da realidade, ou seja, indica uma prioridade do ontológico em relação ao gnosiológico. Ao comentar a contribuição leniniana, o filósofo húngaro observa que em todos os casos concretos analisados com base no viés gnosiológico em Materialismo e Empiriocriticismo, na prática - por utilizar a teoria do reflexo de uma realidade material que é existente independentemente da consciência - encontram-se implícitas considerações ontológicas. O mérito de Lênin, segundo o filósofo magiar, é de ser o único, em seu tempo, que rejeitou a supremacia filosófica da lógica e da gnosiologia modernas. Para tanto, ele retorna, com suas formas de superação, à original concepção hegeliana da unidade de lógica, teoria do conhecimento e dialética, mas, dessa vez, com base no materialismo. Entretanto, para Lukács (²⁰¹²), tal retorno não é legitimado pela leitura da obra marxiana. Essa obra, segundo o autor, não sustenta a unidade entre a ontologia e a gnosiologia. Nesse ponto se encontra, de acordo com Lukács (²⁰¹²), uma das fontes identificadas por Marx das ilusões idealistas de Hegel. Portanto, torna-se importante, como um primeiro movimento, analisar a aproximação excessiva entre Marx e Hegel, pois ela influenciou algumas correntes marxistas, em especial o chamado marxismo-leninismo.

Para ^{Chasin (2009}), esse vínculo teórico entre Marx e Hegel adentra no seio do marxismo pela porta da tese do vínculo lógico ou herança de Hegel por Marx. Porém, para o autor, “a tese do vínculo lógico entre Marx e Hegel não é uma problemática autorizada pela obra ou pelas convicções intelectuais de Marx, mas uma formulação improcedente que tem rastros em Engels, pegadas em Lênin e que, depois, foi expandida, a exemplo do caso de Lukács” ⁷ (^{CHASIN, 2009}, p. 190).

Dessa tendência, há desdobramentos relativos à encaminhamentos metodológicos que Marx nunca teria abordado. ^{Lukács (2010}) traz à tona algumas dessas noções ao fazer uma análise da filosofia hegeliana. Para o autor está imbricada, na filosofia de Hegel, uma duplicidade que se expressa, por um lado, na consideração da processualidade como imperante no mundo da objetividade - noção suscitada pela irreversibilidade do movimento que segue das formas menos desenvolvidas para as mais desenvolvidas - e, por outro lado, na concepção da gênese como derivação lógica do concreto com base no abstrato - o que acarreta o distanciamento das autênticas categorias do desenvolvimento do ser processual e uma inversão do processo de dedução, concebido como a forma genuína do desenvolvimento.

Para ^{Lukács (2010}, ²⁰¹²), o motor do desenvolvimento utilizado por Hegel é a negação da negação. Nessa esteira, causa estranheza ao filósofo húngaro que Engels tenha se contentado em apenas conceber de modo materialista a construção idealista da negação da negação. Como sabemos, Engels estabelece a negação da negação como uma das leis da dialética. Enquanto lei, seria aplicável a todo o campo da realidade processual, histórica. Na visão de Lukács (²⁰¹⁰, ²⁰¹²), esse externo campo de aplicação é problemático, pois se torna supérfluo ao não contribuir para a apreensão da especificidade do processo de desenvolvimento no que é essencial, como havia reconhecido Engels (²⁰¹⁵).

Para apreendermos o cerne da crítica lukacsiana, convém transcrever as palavras de ^{Engels (2015}, p. 165) que fornecem suporte analítico para o filósofo húngaro:

Tomemos um grão de cevada. Bilhões de grãos de cevada são moídos, fervidos, fermentados e, depois, consumidos. Porém, se um desses grãos de cevada encontra as condições que lhe são normais, ao cair em solo propício, ocorre com ele, sob a influência do calor e da umidade, uma mudança bem própria: ele germina; o grão desaparece como tal, é negado, e seu lugar é tomado pela planta que surgiu dele, que é a negação do grão.

Segundo Lukács (2012), nessas linhas encontra-se a descrição de um processo que segue o movimento natural de desenvolvimento. Nos casos em que o grão de cevada é destruído, pode-se afirmar, como expressão ontológica legítima, que houve uma negação logicamente determinada, mas que é pouco significativa para apreender o ser em suas determinações. Contrariamente, no caso concreto em que o grão se encontra em condições propícias para brotar, há uma transformação do grão em seu ser-outro normal, a planta. A consideração abstrata das negações do grão conduz à perda de determinações concretas desse ser-outro. Ao mesmo tempo, obscurece o processo dialético- real pela aproximação e analogia com casos que possuem relação meramente formal com o processo em estudo.

^{Lukács (2017}, p. 134), ao tentar explicar o caráter formal do processo de negação, considera que

[...] omnis determinatio est negatio⁸, eu também poderia dizer que o leão não é um creme de barbear. No plano lógico, esta proposição é irrepreensível, porque o leão realmente não é um creme de barbear. Mas proposições deste tipo podem ser ditas aos milhões e nenhuma delas teria um sentido efetivo, pois a negação no ser- outro é um momento subordinado. Essa negação nasce da comparação, e também nesse caso é um momento subordinado, porque o recíproco ser-outro da cadeira e da mesa, por exemplo, vem de coisas totalmente positivas, e a circunstância de que a mesa não é uma cadeira é um fator sobremaneira subordinado e não tem nenhuma importância no pensar prático. Em contraposição, a negação, independentemente de que seu verdadeiro sentido já esteja atenuado, assume grande importância tão logo queiramos entender a realidade em bases puramente lógicas. É uma negação efetiva, por exemplo, quando digo: “Duas vezes dois não são cinco”. Quando digo: “Não existem dragões”, esta também é uma negação justificada. A grande maioria das negações, entretanto, não são, na verdade, negações reais. Quando digo que o leão não é um creme de barbear, esta não é, absolutamente, uma negação real, mas somente uma consequência puramente lógica de uma afirmação na qual a lógica tem importância secundária.

No que tange às considerações ontológicas nas quais a negação seria traço importante no desenvolvimento, para Lukács (²⁰¹²) é inconcebível encontrar a negação na esfera do ser inorgânico, uma vez que sua característica, seu modo de ser é resumido a uma cadeia de transformações do ser-assim em ser-outro. Diferentemente, na esfera do ser orgânico a negação pode ser identificada no processo de morte dos seres vivos, pois é nesse acontecimento que a reprodução biológica cessa e as suas leis são superadas, o que leva a matéria existente nos organismos a ser regida por leis químico-físicas. De modo geral, “Tão somente nos casos em que o tornar-se outro significa objetivamente uma passagem que subverta radicalmente as formas de objetividade ou dos processos é que ele pode ser entendido como negação também no plano ontológico objetivo” (^{LUKÁCS, 2012}, p. 217).

Outro exemplo utilizado por ^{Engels (2015}) é o da negação da negação como determinação movente das operações matemáticas. Para compreender essa ilustração, é necessário que se destaque que o autor, inicialmente, estabelece uma relação entre metafísica/dialética e lógica formal/dialética. Na sequência, repete a comparação, mas utiliza os conceitos matemáticos: “matemática das grandezas variáveis está para a das grandezas invariáveis assim como o pensamento dialético está, em geral, para o pensamento metafísico” (^{ENGELS, 2015}, p. 153). Em outro momento, realiza um paralelo similar ao tratar da lógica formal como um método para buscar novos conhecimentos com base no conhecido e da dialética como aquela que fornece elementos de superação da lógica formal e traz em seu bojo o embrião de uma concepção de mundo mais abrangente:

A matemática elementar, a matemática das grandezas constantes, move-se dentro dos limites da lógica formal, pelo menos em termos gerais; a matemática das grandezas variáveis, cuja parte mais significativa é constituída pelo cálculo infinitesimal, em essência, não é senão a aplicação da dialética às relações matemáticas. O simples ato de provar está aqui, decididamente, em segundo plano, em comparação com as múltiplas aplicações do método a novos campos de investigação. Porém, do ponto de vista da matemática elementar, quase todas as provas da matemática superior, começando pelas primeiras do cálculo diferencial, são, a rigor, falsas. Isso nem pode ser diferente quando se pretende, como acontece aqui, provar, mediante a lógica formal, os resultados obtidos no campo dialético (^{ENGELS, 2015}, p. 165, grifo nosso).

Salta à vista, nessas linhas, a afirmação de que a “matemática das grandezas variáveis”, em grande parte o cálculo infinitesimal, corresponderia a uma “aplicação da dialética às relações matemáticas”. Importante sublinhar que Engels não concebia as variáveis ainda em termos da análise matemática pós-Cauchy⁹, ou seja, não havia se apropriado das discussões mais elaboradas de sua época. Nesses termos, a tese engelsiana de que a matemática superior contradiz a matemática elementar se torna frágil. Nesse contexto, é válido apresentar o modo como Engels (²⁰¹⁵) interpreta a negação da negação na matemática elementar e na matemática das grandezas variáveis, antes de adentramos no seio da discussão proposta.

Tomemos uma grandeza algébrica qualquer, digamos, ^-α-α . Se negarmos, teremos -^α-α (menos ^αα). Se negarmos essa negação, multiplicando -α^-α por -α^--α, teremos α+^2-+α², isto é, a grandeza positiva original, só que num patamar mais elevado, a saber, na segunda potência. Nesse caso, não faz diferença se conseguimos obter o mesmo α^2-α² multiplicando o α-α positivo por si mesmo e, por essa via, obtendo igualmente α^2-α², porque a negação negada está tão radicada no α^2-α² que, em qualquer circunstância, ele possui duas raízes quadradas, a saber, ^αα e ^-α-α. Mas, livrar-se dessa impossibilidade, da negação da negação, da raiz negativa contida no quadrado, já adquire uma importância bastante concreta no caso das equações de segundo grau (^{ENGELS, 2015}, p. 166-167).

Não é nosso objetivo aqui nos atermos à análise detalhada das concepções subjacentes ao processo matemático descrito, bem como da sua realização. Importa, no entanto, sublinhar certos aspectos relativos à explicitação da negação da negação aplicada à matemática conforme se encontram nas linhas engelsianas. Nesse exemplo, o pensador alemão se utiliza de “processos” de “mudanças” acerca de determinadas condições. A negação da grandeza algébrica ^αα é realizada ao atribuirmos um sinal (-) ao seu ser-precisamente-assim, tornando-a seu oposto, ou como Engels prefere, sua negação. Por sua vez, no processo de negação dessa negação, realiza-se uma multiplicação do ente negado ^α-α por outro igual a si (-^α)(- ^α), a fim de obter como produto o elemento inicial, mas em um novo grau, α^2-α². Fica explícito que a negação nos dois casos é distinta. Primeiramente, ele realiza uma multiplicação por um número negativo (-1-1) e, no segundo caso, ele realiza uma multiplicação pelo próprio ente ^{(- α-α)} que foi negado. Convenhamos que é uma artimanha do autor para mostrar que o produto é o mesmo elemento em um grau maior, quando, no caso, a realização da negação em sentido lógico faria retornar ao mesmo ^α-α inicial. É possível que sejamos acusados de fazer uma leitura metafísica do “processo dialético” mostrado por Engels, mas não conseguimos ver a dialética incrustada na mudança de multiplicações sucessivas de números relativos diferentes entre si.

^{Lukács (2010}) aponta outras duas questões em relação a esse exemplo. A primeira diz respeito ao fato de os números relativos apresentarem outros significados, como por exemplo, no sistema de coordenadas em que o ^{- α-α} e o ^{+ α+α}são números quaisquer que possuem algo em comum, mas não representam, em si, nenhuma negatividade um em relação ao outro. A segunda é atinente ao motivo da multiplicação, e não da adição exprimir a negação de ^{- α-α} em relação a ^αα. Para Lukács (2010, p. 168), “A multiplicação, além disso, mostra uma analogia aparentemente útil só de modo puramente formal, e exclusivamente daí adquire seu lugar privilegiado”, mas “não contém nenhuma sombra de qualquer questão ontológica”.

O que importa na análise desse exemplo, realizada por ^{Lukács (2010}), é, primeiramente, mostrar que o processo de abstração, no movimento do conhecimento, não advém de formas abstratas a priori a serem aplicadas aos diferentes ramos da realidade. Em segundo lugar, que há distinções entre os planos lógico e o ontológico e não é prudente, ou no mínimo desnecessário fazer uma leitura estritamente lógica de questões ontológicas. Em terceiro lugar, encontramos na crítica de Lukács (²⁰¹⁰) o intuito de afirmar que o processo de abstração com base na realidade só é profícuo se buscar o que ^{Marx (2011}) denomina de “abstrações razoáveis”, ou seja, generalizações da realidade cuja base são os processos reais, a fim de obter certas abstrações em que o fato de excluir o particular da exposição “nunca transforma essa última em absurdidade grotesca” (^{LUKÁCS, 2010}, p. 169). Bastaria anunciar o desenvolvimento da cevada do mesmo modo que a multiplicação de números relativos como processos similares de negação da negação para que se explicitassem lados absurdos. Isso não ocorre quando as generalizações partem do próprio ser, com obtenção de abstrações que tenham determinações ontológicas que as justifiquem, como, por exemplo, afirmar a historicidade como traço geral das formas de ser.

[...] sem sequer tocar o terreno do absurdo, posso afirmar: a geologia mostra a irreversibilidade dos processos naturais tão nitidamente quanto a história da França mostra a irreversibilidade dos processos históricos. Aqui também, os momentos particulares concretos dos dois grupos de fenômenos nada têm a ver entre si; a própria irreversibilidade do processo, porém, forma, aqui como lá, a base real das respectivas particularidades (^{LUKÁCS, 2010}, p. 169-170).

Isso significa que a negação da negação não é uma lei geral obtida no desenvolvimento do ser, mas uma esfera específica e aplicada arbitrariamente sobre toda a realidade. É nesse sentido que a crítica lukacsiana se desenha a fim de chamar a atenção para a possibilidade, intrínseca à logicização de problemas ontológicos, da descaracterização do próprio ser, ou no caso menos problemático, de não auxiliar no desvelamento da sua essência.

Fica a questão relativa ao estatuto de validade da lei da negação da negação. Para Lukács, o lócus privilegiado da negação é a esfera do ser social, pois ela se ergue com a existência do sujeito. Surge da escolha e decisão, na práxis, entre alternativas que se estabelecem para ele como uma bipartição e oposição, no mundo, entre o que serve de auxílio ou não ao indivíduo para atingir seu objetivo. Aqui é engendrada, no pensamento, uma homogeneização da realidade, na qual a negação ou afirmação de certas propriedades são atualizadas pelo processo de trabalho. Nessas linhas, Lukács (²⁰¹²) afirma que a negação é instrumento intelectual da práxis e seu inseparável reflexo.

Voltemos ao aspecto central da crítica lukacsiana da prioridade da concretude ontológica do objeto sobre as abstrações gnosiológicas gerais. Relacionado a esse aspecto, ^{Lukács (2010}, p. 365) comenta a tendência de separação, no marxismo, do materialismo dialético como doutrina filosoficamente geral e abrangente que, em sua aplicação à sociedade, faria surgir o materialismo histórico. Nesse sentido, afirma:

Essa postura contradiz o marxismo em dois pontos decisivos. Primeiro, assumindo uma doutrina filosófica das categorias abstrato-gerais, cujas constatações deveriam valer da mesma maneira para todo ser, e, segundo, na medida em que o momento da historicidade é transformado em mero problema singular do ser, mas que só pela aplicação dos princípios gerais supra- históricos universais do materialismo dialético nesse “setor especial” poderia receber seu autêntico conteúdo objetivo e, consequentemente, sua possibilidade de formulação intelectual. Essa codificação da essência do materialismo dialético aparece como univocidade precisa de seus princípios - comparada com os comentários de Marx, que sempre se referem ao processo histórico, ao contrário das tentativas vacilantes de Lenin de apreender aproximativamente, de vários ângulos, os traços essenciais do seu movimento processual, portanto, como tentativa de fixar de uma vez para sempre determinações unívocas das categorias.

O filósofo magiar advoga contra a tendência em identificar e separar a existência de características universais de certas determinações, convertendo-as, pela esfera da lógica, nas formas de encadeamento e hierarquização da realidade sob o pretexto de determinado princípio ordenador. Esse processo, segundo Lukács (²⁰¹²), tende a homogeneizar o quadro da realidade sobre determinado aspecto não o captando em sua multiplicidade de determinações. É nesse sentido que a lógica pode subverter o processo real, como o autor considera que ocorre em Hegel. Para Lukács (²⁰¹², p. 220), “A lógica é um dos mais importantes meios homogêneos criados pela práxis e pelo trabalho mental do homem”. O problema que emerge das interpretações que alçam a lógica como referência ou diretora do processo de conhecimento é que os pontos de partida, as atividades geratrizes tendencialmente se extinguem no meio homogêneo da lógica, condensada em um sistema fechado que supõe universalidade. A história da humanidade é ilustrativa acerca da ilusão, ali originada, de diversos pensadores de “poder, mediante um sistema bem-acabado do universo do pensamento homogeneizado em termos lógicos, dar respostas, a partir dele, a todas as questões que nascem das relações dos seres humanos com a realidade” (^{LUKÁCS, 2012}, p. 221).

A questão que se põe é de como a lógica interage com a realidade, dada sua natureza essencialmente homogênea que difere fundamentalmente dela. Para Lukács (²⁰¹², p. 221-222),

[...] a lógica cria um meio homogêneo de pensamento, cuja estrutura deve ser qualitativamente diversa da realidade, que é em si heterogênea; e essa diversidade deve se manifestar, não fosse por outra razão, pelo fato de que as relações num meio homogêneo devem ser constituídas de modo diverso do que o seriam em presença de objetos, forças etc. realmente heterogêneos e atuando uns sobre os outros. Já nos referimos às operações intelectuais que tal fato torna necessárias, como, por exemplo, à necessidade de uma interpretação física etc. de fenômenos reais que tenham sido expressos em fórmulas matemáticas; nesse caso, é preciso que aquilo que recebeu homogeneização matemática seja novamente aproximado da realidade objetiva, mediante o destaque e a aclaração intelectuais do caráter heterogêneo de seus componentes. [...] Se o meio homogêneo que serve de fundamento à conexão cognoscitiva possui caráter lógico, então o contraste entre o meio cognoscitivo homogêneo e a realidade heterogênea adquire um traço particular, pelo qual o complexo - infinito - de fenômenos heterogêneos entre si e, portanto, não imediatamente sistematizáveis e hierarquizáveis enquanto tais, vai se reproduzir no pensamento como sistema hierárquico homogeneamente acabado.

A homogeneização do processo, no entendimento de Lukács (²⁰¹²), não é necessariamente um traço obliterador da possibilidade de conhecimento da realidade e de sua apreensão no sentido de captar a sua essência. Isso se explica pelo fato de, em seu constante retorno e sua calibragem em relação a ela, bem como na renegação do seu caráter sistêmico imanentemente hermético como aspecto da realidade, estabelecer-se a capacidade de auxiliar na apropriação concreta de determinado objeto. Portanto, “pode, pelo manejo satisfatório, conscientemente crítico, dos meios cognoscitivos, ser sempre reconduzida aos parâmetros de uma correta aproximação aos objetos reais” (^{LUKÁCS, 2012}, p. 222). Contudo, isso não é uma possibilidade ao se criar e fixar uma hierarquia, pois, no geral, ela tende a distorcer o processo de constituição da realidade por meio do encadeamento conceitual que compõe o sistema. Para Lukács (²⁰¹²), enquanto o surgimento de uma formação é um problema de gênese - em que as características reais do ser particular são consequências das legalidades do seu aparecimento e perecimento -, o conceito, por sua vez, tem seu surgimento pela dedução lógica de outro conceito, indiferentemente se essa via é de cima para baixo ou vice-versa. O foco no aspecto lógico, portanto, torna-se um problema quando a lógica se transforma em modelo e fundamento da ontologia; logo, implica que as deduções lógicas se transformem em formas próprias da gênese ontológica.

É nesse contexto que está posicionada a questão da ordem das categorias na exposição do objeto. Conforme ^{Spacek (2023}), há, dentre os autores defensores de uma unidade explícita do lógico com o histórico e seus consequentes métodos de apreensão da realidade, uma tendência a afirmar que a ordem das categorias e o processo de formação da realidade são aspectos correlacionados. Por essa sua particularidade, a lógica ganha lugar privilegiado e forma par dialético com a história (^{KOPNIN, 1972}). Contudo, tal atitude, segundo ^{Chasin (2009}), transfigura as formas expositivas em etapas de desenvolvimento do próprio objeto.

Para ^{Chasin (2009}), essa pretensa correlação entre o desenvolvimento concreto da realidade e sua exposição lógica se dá pela tradição, principiada em ^{Engels (1982}), de interpretar como existentes uma postura lógica e outra histórica nos procedimentos marxianos, e não pela análise entre realidade (história) e pensamento. É sob a pena do pensador e revolucionário alemão, em uma resenha da obra A Contribuição para a Crítica da Economia Política de Marx, que a problemática da relação entre as categorias que impulsiona o presente artigo ganha relevância. No extenso excerto a seguir, encontra-se a via pela qual Engels (1982) a introduz, como dois modos de abordagem do objeto - no caso analisado, a Economia Política. Segundo o autor (1982), Marx teria sido o único que, ao partir da “casca” da lógica hegeliana, teria conseguido extrair o núcleo que continha elaborações reais, o que resgataria o “método dialético”. Isso só se tornou possível porque o autor de O Capital teria se focado na forma simples da dialética, sem as ornamentarias idealistas, o que foi determinante para capturar o desenvolvimento do capitalismo. Em seguida, Engels (¹⁹⁸², p. 541, negrito nosso), afirma que:

[...] depois de adquirido o método, a Economia podia ser abordada de duas maneiras: historicamente ou logicamente. Como na história, tal como no seu reflexo literário, o desenvolvimento, a traços largos, progride das relações mais simples para as mais complicadas, o desenvolvimento histórico-literário da Economia Política fornecia um fio condutor natural a que a crítica se podia ligar e, a traços largos, as categorias económicas apareceriam na mesma ordem do que o desenvolvimento lógico. Esta forma tem, aparentemente, a vantagem de uma maior clareza, pois, assim, segue-se o desenvolvimento real; de facto, porém, no máximo tornar-se-ia apenas mais popular. A história procede frequentemente por saltos e em ziguezague e, se houve-se que segui-la ao mesmo tempo por toda a parte, teria não apenas de recolher muito material de pouca importância, como também o curso do pensamento teria frequentemente que ser interrompido; além disso, não se poderia escrever a história da economia sem a da sociedade burguesa e, deste modo, o trabalho tornar-se-ia infindável, uma vez que faltam os trabalhos preparatórios. Portanto, o modo lógico de tratamento era o único que estava no seu lugar. Este [modo], porém, não é de facto senão o histórico, despido apenas da forma histórica e das casualidades perturbadoras. Por onde esta história começa, por aí tem de começar igualmente o curso do pensamento, e o seu avanço ulterior não será mais do que o reflexo, numa forma abstracta e teoricamente consequente, do decurso histórico; um reflexo corrigido, mas corrigido segundo leis que o próprio decurso histórico real fornece, na medida em que cada momento pode ser considerado no ponto de desenvolvimento da sua plena maturidade, da sua forma clássica.

Para ^{Chasin (2009}), a correlação entre o desenvolvimento concreto e sua exposição lógica pode se tornar uma armadilha, pois a historicidade pode ser aproximada da realização lógica, o que conduz à interpretação das formas lógicas como expressão do desenvolvimento histórico concreto. Para o autor, isso é encontrado em ^{Lukács (2018}) que, em suas concepções anteriores às ontológicas, entende as formas de juízo como realizações históricas em que a historicidade de formação e sucessão destas sempre possui um substrato histórico que as constituem como forma e conteúdo. Nesse sentido, na interpretação de Chasin (2009), a processualidade histórica global pode ser entendida como silogística. Segundo o autor, essa transfiguração do problema marxiano se deve a uma indistinção entre o processo expositivo e o processo analítico da realidade nas obras de Marx, em que:

[...] a determinação marxiana inicial - a forma simples de valor, basicamente expositiva, que não é descoberta em ato, mas só o ato que principia a mostrar o descoberto, isto é, determinação cuja tônica não recai nem sobre a reprodução do complexo analítico da descoberta, nem sobre o descoberto como complexo histórico concreto, seja imediatamente tomada ou forçada a ser entendida como reprodução teórica de uma etapa determinada de existência efetiva (^{CHASIN, 2009}, p. 181-182).

A exposição das categorias como etapas ou formas históricas de existência do objeto tem ampla repercussão na tese hegeliana da identidade entre os elementos da objetividade e da subjetividade desdobrada da totalidade. Nesses termos, Hegel (apud^{LUKÁCS, 2012}, p. 203-204) afirma:

“A ordem e a conexão das ideias” (do subjetivo) são idênticas “à ordem e à conexão das coisas” (do objetivo). Tudo existe numa só totalidade; a totalidade objetiva e a totalidade subjetiva, o sistema da natureza e o sistema da inteligência são uma só e mesma coisa; a uma determinidade subjetiva corresponde a mesma determinidade objetiva.

Se a ordem estabelecida entre as ideias e a realidade é a mesma - ou, no caso de algumas interpretações marxistas, são ordenações invertidas -, é conveniente que se admita uma relação e hierarquização do desenvolvimento, na medida em que, para Hegel, o caminho do ser ao conceito se estabelece do simples ao complexo, no qual o ser, simples, abstrato, é uma propriedade de tudo o que é novo. Contra isso, Lukács (2012) adverte que não é possível advogar conclusivamente esse caráter abstrato e simples do novo. Essa dúvida lançada sobre a tese hegeliana não significa uma negação do processo de complexificação da realidade, que tem no desdobrar-se das esferas do ser a expressão do processo de complexificação - surgimento do ser orgânico com base no inorgânico e do ser social com base nessas outras duas formas de ser. Ademais, é possível identificar que na esfera do ser social há uma tendência progressiva à universalização e socialização das relações. Disso, no entanto, não se deduz qualquer forma de categorização que, ao homogeneizar processos heterogêneos, resuma a exposição da lógica do objeto a uma realização do conceito em sua forma mais acabada a partir de outras mais simples. Essa linha argumentativa é ressonância das elaborações marxianas que podem ser encontradas nas seguintes palavras de ^{Marx (2011}, p. 55-56):

Mas essas categorias simples não têm igualmente uma existência independente, histórica ou natural, antes das categorias mais concretas? Isto depende. Hegel, por exemplo, começa corretamente a filosofia do direito com a posse como a mais simples relação jurídica do sujeito. Mas não existe posse antes da família ou das relações de dominação e de servidão, que são relações muito mais concretas. Pelo contrário, seria correto dizer que existem famílias, tribos, que somente possuem, mas não têm propriedade. Com relação à propriedade, portanto, a categoria mais simples aparece como relação de associações mais simples de famílias ou tribos. Na sociedade mais avançada, a propriedade aparece como relação mais simples de uma organização desenvolvida. Mas o substrato mais concreto, do qual a posse é relação, é sempre pressuposto. [...] a categoria mais simples pode expressar relações dominantes de um todo ainda não desenvolvido, ou relações subordinadas de um todo desenvolvido que já tinham existência histórica antes que o todo se desenvolvesse no sentido que é expresso em uma categoria mais concreta. Nesse caso, o curso do pensamento abstrato, que se eleva do mais simples ao combinado, corresponderia ao processo histórico efetivo.

A relação entre as categorias simples e complexas não é dada, portanto, na forma expositiva, por encadeamento e dedução inerentes aos próprios conceitos, mas pelo desenvolvimento da realidade que possui legalidades, porém não teleologia ou necessidade cega. A existência das categorias complexas não é, necessariamente, um desdobramento das categorias simples, mas de um complexificar e atuar no conjunto da realidade. A existência das categorias simples só possui substância em dependência da complexidade de formas concretas de sua expressão. Em linhas gerais, isso corrobora a afirmação de uma preponderância do objeto no processo de investigação, e que a ordem expositiva das categorias tem relação apenas com a sua lógica e historicidade intrínseca. ^{Chasin (2009}, p. 244), na análise da exposição categorial desenvolvida por Marx em O Capital, respalda essa afirmação.

De sorte, a ordem de entrada dos materiais à cena discursiva e os lugares que nela ocupam não são estipulados por algum tipo de legalidade expositiva autônoma, mas pelo estatuto da reprodução ideal, forjado em subsunção ao composto ontológico do complexo estudado. O que não guarda identidade com a ordem e o modo de seus engendramentos reais, pois basta considerar que a forma da mercadoria enquanto mercadoria, ou seja, o modo de existência do produto do trabalho na sociabilidade particular da produção de mercadorias, como qualquer ente, compreende a simultaneidade de todas as suas características enquanto presença integrada e esculpida por suas categorias, ao passo que, obviamente, na análise e no discurso essa unidade imediata é impossível, cedendo lugar a um quadro estruturado pela sequencialidade da abordagem categorial.

É sobre esses aspectos que ^{Lukács (2010}, ²⁰¹², ²⁰¹³), ao atribuir à lógica um papel importante, mas não necessariamente prioritário, no processo de conhecimento, almeja resgatar o desenvolvimento do objeto em sua processualidade própria, ou seja, em sua própria lógica de desenvolvimento. Nesse sentido, a lógica do objeto e sua historicidade são um único movimento (^{CHASIN, 2009}), mas que, ao serem representadas por meio conceitual, não são uma cópia do real pela subjetividade. Como momentos captados pela subjetividade no processo de busca dos meios para a efetivação do pôr teleológico, o reflexo da realidade se realiza de modo a captar os momentos necessários para esse processo, ou seja, constitui-se como uma homogeneização que, para sua efetiva realização, é imperativo que se concretize sob a regência da lógica própria do objeto, e não por um princípio metodológico supra-histórico.

Já citamos a questão da lei da negação da negação e reduzimos o espaço de sua atuação, mas ainda é válido questionar o papel e a legitimidade de outras supostas leis gerais. Por exemplo, a historicidade, a processualidade, a universal contraditoriedade do real são propriedades ontológicas do real. Marx (1984, p. 17) reconhece, por exemplo, que Hegel, apesar da mistificação da dialética, teria sido “o primeiro a apresentar suas formas gerais de movimento, de maneira ampla e consciente”. Nesse sentido, ^{Chasin (2009}) afirma que nos movimentos do pensamento em direção à reprodução do concreto como síntese de múltiplas determinações, em especial no momento de determinação, há uma contribuição dessas formas gerais que, no entanto, são sempre imanentes ao objeto, e não atribuídas a ele pelo pensamento. No objeto é sempre possível identificar os momentos da universalidade, particularidade e singularidade, haja vista que a concreção da análise se move também nesses níveis de generalização que representam, pela sua inter-relação dialética, momentos do processo determinativo, apesar de seu estatuto remoto e abstrato.

Sob essa condição, uma lógica ou dialética do universal, particular e singular será o feixe [...] mais abstrato das abstrações razoáveis, que enquanto tal não determina nenhum objeto concreto. Dada a generalidade máxima dessa mais abstrata das abstrações razoáveis, ela é dizível de qualquer objeto, é a voz abstrata mais tênue, uma generalidade tão possível, e nesse sentido pode servir de guia distante para a formulação das abstrações razoáveis, e do mesmo modo para os passos de concreção (^{CHASIN, 2009}, p. 216).

Esses preceitos ontológicos, uma vez derivados da máxima generalidade da realidade, indicam alguns pressupostos, mas não são muletas ou guias seguros na apreensão do conhecimento do objeto, do mesmo modo que não o são os supostos modos lógicos e históricos de abordagem da realidade. Essa sobreposição dos modos de abordagem do objeto é, conforme ^{Chasin (2009}), uma confusão atinente ao processo investigativo e em relação à própria realidade, pois homogeneiza e simplifica o seu movimento com intuito expositivo.

É possível perceber que a crítica apresentada por ^{Lukács (2010}, ²⁰¹², ²⁰¹³), assim como a interpretação do método marxiano de ^{Chasin (2009}), estrutura-se sobre a recusa da suposta existência de uma orientação geral diante dos objetos, bem como de uma subsunção do ontológico - histórico - ante os preceitos lógicos. Isso, na análise do desenvolvimento da sociedade, pode ser visto na medida em que as necessidades ontológicas das principais tendências de desenvolvimento da totalidade não podem ser homogeneizadas como necessidades de caráter puramente lógico. É ilícito, por exemplo, afirmar que a Antiguidade Clássica surge de uma necessidade ontológica, assim como é substituída pelo feudalismo de modo similar. Por outro lado, mesmo post festum, a dedução da servidão da gleba da economia escravista, em termos lógico-racionais, é uma absurdidade (^{LUKÁCS, 2012}). É nesse sentido que Lukács (²⁰¹²) estabelece a crítica a Engels, no que se refere à sua distinção entre os modos lógicos e históricos da realidade.

A oposição decisiva com a concepção de Marx reside no primado do “modo lógico de tratamento”, que é posto aqui como idêntico ao histórico, “só que despojado da forma histórica e das causalidades importunas”. A história despojada da forma histórica: nisso está contido sobretudo o recurso de Engels a Hegel. Na filosofia hegeliana, isso era possível: uma vez que a história, tal como toda a realidade, se apresentava apenas como a realização da lógica, o sistema podia despojar o acontecer histórico de sua forma histórica e reconduzi-lo à sua essência própria, ou seja, à lógica. Mas para Marx - e de resto também para Engels - a historicidade é uma característica ontológica não ulteriormente redutível do movimento da matéria, particularmente marcado quando, como é o caso aqui, trata-se apenas do ser social. As leis mais gerais desse ser podem também ser formuladas em termos lógicos, mas não é possível derivá-las da lógica ou reduzi-las a ela. Na passagem citada, Engels faz isso, o que já fica evidente pelo uso da expressão “casualidades importunas”; no plano ontológico, algo casual pode muito bem ser portador de uma tendência essencial, não importando se, da perspectiva da lógica pura, o acaso seja entendido como “importuno” (^{LUKÁCS, 2012}, p. 373, grifo nosso).

A fundamentação da abordagem de um objeto do conhecimento com base nas considerações tecidas aponta para, no caso específico da organização do ensino escolar, a necessidade de o considerar, no processo de sua objetivação como objeto de ensino, como uma forma de reflexo da realidade. Contudo, como consequência da infinitude intensiva dos objetos e do caráter estruturado da realidade como totalidade - o que pressupõe a sua diferenciação interna e a multiplicidade simultânea de fatores atuantes no seu ininterrupto desdobrar-se -, a depender dos propósitos da atividade em que o reflexo é um de seus momentos, impõem-se outros conhecimentos para sua objetivação, seu progressivo processo de concreção. Torna-se imperativo, para a apropriação da sua essência, que formas homogêneas se tornem momentos da análise do objeto, entendido como “síntese de múltiplas determinações” (^{MARX, 2011}, p. 54). Isso caminha em direção contrária à tendência que costuma estabelecer parâmetros formais e, por consequência, homogêneos, para problemas complexos, heterogêneos. Tal atitude os deforma e os transporta para um plano formal, supostamente racional, que visa mitigar a necessidade de tomada de posição ao transferir a responsabilidade da escolha dentre as alternativas para um plano que, supostamente, é livre da influência das demais esferas sociais. Como exemplo da referida tendência, é possível citar o caso de Bertrand Russell que, segundo ^{Mészáros (2009}), defendia um ataque preventivo das potências capitalistas do ocidente contra a União das Repúblicas Socialistas Soviéticas (URSS) enquanto não havia o risco iminente de esse ato ter como consequência a autodestruição mútua.¹⁰ Infelizmente, esse tipo de raciocínio, que no plano exclusivamente formal e homogeneizado faz sentido - “antes milhões de mortos que toda a humanidade” -, foi reavivado no período pandêmico ao arrastar para o plano formal problemas complexos e de importância vital. De acordo com Mészáros (²⁰⁰⁹, p. 31):

[...] o que não é levado em consideração em tais recomendações é a monstruosidade dos próprios pressupostos materiais que estão sendo admitidos como irrefutáveis - isto é, a aceitabilidade da destruição de centenas de milhões de seres humanos, como se isso fosse uma calamidade natural inevitável, em lugar de nos concentrarmos em como eliminar as causas do desastre que entrevemos -, mas que permanecem ocultos atrás da fachada da 10 Segundo ^{Mészáros (2009}), o filósofo se arrependeria posteriormente, condenando esse seu posicionamento.proporcionalidade formal “eminentemente sensível”. Na verdade, porém, qualquer sistema de pensamento que possa afastar-se, no decurso de suas deduções formais elaboradas, de seus próprios pressupostos materiais - necessários, embora não explícitos -, ou que alegue ser capaz de transferi-los para uma “esfera das emoções” separada, só pode conduzir à total arbitrariedade em questões de tamanha importância - literalmente, de importância vital.

A discussão apresentada, ao pôr em relevo a incompletude do reflexo isolado dos objetos do conhecimento para análise da totalidade do real, evidencia sua particularidade, isto é, os momentos e aspectos da realidade de que se constitui como reflexo, o que pode ser essencial para a captura do ser dos objetos da realidade com base na apreensão de suas legalidades próprias. Ao mesmo tempo, no contexto da atividade humana, na forma de conceito, o reflexo pode sustentar formas de ação generalizadas que possibilitam, ao estarem inseridas como momentos da realização dessa atividade, a atuação do ser humano para além das amarras da situação posta. Por consequência, além da indissociabilidade da realidade e de seu conhecimento, a despeito de, ontologicamente, afirmar-se sua natureza distinta (^{LUKÁCS, 2013}), apresenta-se a relação entre a particularidade e a generalidade do conhecimento como aspecto indissociável da atividade humana.

Do fato de a realidade sempre exceder o conhecimento que, em geral, exerce a sua função em um plano homogêneo, ao reforçar a especificidade do conhecimento diante dela, indica-se, ao mesmo tempo, sua fraqueza - delimitação de seu campo de atuação - e sua força - as esferas da realidade que exercem papel de modo mais efetivo -, bem como o grau de generalização da atuação do sujeito nessa esfera. Nesse quadro torna-se importante, em especial para o professor, o estudo do processo de seu desenvolvimento, pois é nele que se torna possível a apreensão daquilo que constitui o traço de permanência na mudança (^{LUKÁCS, 2012}). Em outras palavras, tal estudo pode manifestar aquilo que o faz emergir e o torna próprio, ou nos termos de ^{Davídov (1988}, p. 143), a sua “abstração substancial”.

Em síntese, a interpretação ontológica aqui levada a cabo sobre a relação entre o histórico e o lógico, principalmente com base em ^{Lukács (2010}, ²⁰¹², ²⁰¹³, ²⁰¹⁷), auxilia-nos a sustentar uma leitura do processo de ensino e de aprendizagem como fenômeno historicamente delimitado que deve ser interpretado com base nas suas próprias legalidades. Nesse contexto, a leitura ontológica materialista-dialética da relação entre o lógico e o histórico do conhecimento passa a ser importante, pois, ao enfatizar o objeto como polo regente do processo de conhecimento, indica sua potencialidade e limitação ao eliminar qualquer pretensão de estabelecer fundamentos categoriais a priori que o guiem. Tal fato exige do professor um constante questionamento sobre a essência do conhecimento como desenvolvimento histórico, bem como a função que ele ocupa no atual modo de produção, com o intuito de apreender as suas contribuições para a formação dos estudantes no que se refere às suas possibilidades emancipatórias.

3.Considerações finais

A relação entre as categorias do histórico e do lógico como um dos determinantes para a organização do ensino que vise a formação do pensamento teórico dos estudantes tem sido explorada por diferentes pesquisas, com destaque especial às pesquisas em educação matemática. Nosso objetivo foi defender a existência de uma interpretação da referida relação alicerçada em uma concepção ontológica materialista-dialética. Buscamos expor uma interpretação não hegemônica dentre as pesquisas em educação matemática que se fundamentam no materialismo histórico e dialético no Brasil, pois estas têm sido, em boa parte, formuladas sob a influência dos trabalhos de ^{Kopnin (1978}), conforme nos mostra ^{Spacek (2023}).

Uma interpretação ontológica fundamentada nos trabalhos de ^{Lukács (2010}, ²⁰¹², ²⁰¹³, ²⁰¹⁷) põe em evidência a necessidade de posicionar o objeto no centro do processo de conhecimento como sua referência. Isso, por sua vez, exige a adoção de uma abordagem multilateral e, por consequência, heterogênea. É imperativo, para a adoção de tal postura, que não seja restrita ao plano unilateral e homogêneo da lógica como reflexo do conhecimento do objeto ou de seu próprio ser. Outro aspecto destacado é a ineliminável historicidade do objeto, característica que sintetiza o seu processo de transformação como um ininterrupto movimento de mudança, bem como de continuidade daquilo que constitui sua essência. Tal historicidade do objeto também impera no processo de conhecimento da realidade que apresenta suas próprias legalidades.

Tais considerações podem ser tomadas como princípios norteadores para a organização do ensino que se proponha a formar o pensamento teórico dos estudantes, posto que pode auxiliar a análise do objeto do conhecimento em sua gênese e desenvolvimento na busca pelo que lhe é específico, isto é, aquilo que caracteriza a permanência na mudança (^{LUKÁCS, 2012}), além de indicar a necessidade de pôr em evidência sua contribuição para a formação do estudante.